蓝桥杯练习-入门训练-Fibonacci数列

蓝桥杯练习-入门训练-Fibonacci数列

时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB

问题描述

Fibonacci数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=F2=1。

当n比较大时，Fn也非常大，现在我们想知道，Fn除以10007的余数是多少。

输入格式

输入包含一个整数n。

输出格式

输出一行，包含一个整数，表示Fn除以10007的余数。

说明：

在本题中，答案是要求Fn除以10007的余数，因此我们只要能算出这个余数即可，而不需要先计算出Fn的准确值，再将计算的结果除以10007取余数，直接计算余数往往比先算出原数再取余简单。

样例输入

10

样例输出

55

样例输入

22

样例输出

7704

数据规模与约定

1 <= n <= 1,000,000。

解题思路

斐波那契数列，
方法一：没什么好说的，暴力模拟

AC代码

#include<iostream>
#include<string>
#define ll long long int
const int mod = 10007;
using namespace std;
int main() {
ll n;
while (cin >> n) {
ll a = 1, b = 1;
ll a1 = 1, b1 = 1;
for (int i = 3; i <= n; ++i) {
a1 = b % mod;
b1 = (a + b)%mod;
a = a1;
b = b1;
}
cout << b << endl;
}
return 0;
}

方法二：矩阵快速幂

构造矩阵表达式

∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∗∣∣∣fn−1fn−2∣∣∣=∣∣∣fnfn−1∣∣∣|a11a12a21a22|∗|fn−1fn−2|=|fnfn−1|

易知，

∣∣∣1110∣∣∣∗∣∣∣fn−1fn−2∣∣∣=∣∣∣fnfn−1∣∣∣|1110|∗|fn−1fn−2|=|fnfn−1|

所以

∣∣∣1110∣∣∣n−2∗∣∣∣f2f1∣∣∣=∣∣∣fnfn−1∣∣∣|1110|n−2∗|f2f1|=|fnfn−1|

AC代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int mod = 10007;
struct matrix {     //矩阵
int m[2][2];
}ans;

matrix base = { 1, 1, 1, 0 };

matrix multi(matrix a, matrix b) {  //矩阵相乘，返回一个矩阵
matrix tmp;
for (int i = 0; i < 2; i++) {
for (int j = 0; j < 2; j++) {
tmp.m[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < 2; k++)
tmp.m[i][j] = (tmp.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod;
}
}
return tmp;
}

int matrix_pow(matrix a, int n) {   //矩阵快速幂，矩阵a的n次幂
ans.m[0][0] = ans.m[1][1] = 1;  //初始化为单位矩阵
ans.m[0][1] = ans.m[1][0] = 0;
while (n) {
if (n & 1) ans = multi(ans, a);
a = multi(a, a);
n >>= 1;
}
return ans.m[0][1];
}

int main() {
int n;
while (cin>>n) {
cout << matrix_pow(base, n) << endl;
}
return 0;
}

对比一下两个的效率



上面一个是矩阵快速幂

下面一个是暴力的

差别显而易见