[BZOJ4869][六省联考2017]相逢是问候(线段树+扩展欧拉定理)

扩展欧拉定理：$a^x \equiv a^{x\% \phi (p)+[x> \phi (p)] \phi (p)} (mod p)$，a和p可以不互质。

我们可以不断展开：$c^{c^x} \equiv c^{c^x\% \phi (p)+\phi(p) } \equiv c^{c^{x\% \phi(\phi(p))+\phi(\phi(p))}\%\phi(p)+\phi(p)}(mod p)$，以此类推。

可以证明在$O(\log n)$次内模数会变为1，也就是最后会变成$x\%1+1$所以这个直接用线段树维护就好，如果一个区间内的所有数都变成1了就不必处理。

注意最后要加一个$\phi(1)$：https://www.geek-share.com/detail/2704656470.html

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1)|1
#define lson ls,L,mid
#define rson rs,mid+1,R
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
typedef long long ll;
using namespace std;

const int N=100010;
int n,m,op,l,r,a
,cnt,c,dep[N<<2];
ll sum[N<<2],mod
;

ll phi(ll x){
ll res=x;
for (int i=2; i*i<=x; i++)
if (!(x%i)){
res=res*(i-1)/i;
while (!(x%i)) x/=i;
}
if (x>1) res=res*(x-1)/x;
return res;
}

ll pow(ll a,ll b,ll p,bool &f){
ll res=1; f=0;
while (b){
if (b & 1) f|=(res*a>=p),res=(res*a)%p;
f|=(a*a>=p && b>1); a=(a*a)%p; b>>=1;
}
return res;
}

ll calc(ll x,ll p){
ll res=x; bool f;
if (res>=mod
) res=res%mod[p]+mod[p];
while (p--){
res=pow(c,res,mod[p],f);
if (f) res+=mod[p];
}
return res%mod[0];
}

void build(int x,int L,int R){
if (L==R) { dep[x]=0; sum[x]=a[L]; return; }
int mid=(L+R)>>1;
build(ls,L,mid); build(rs,mid+1,R);
sum[x]=(sum[ls]+sum[rs])%mod[0];
}

void mdf(int x,int L,int R,int l,int r){
if (dep[x]>=cnt) return;
if (L==R){ sum[x]=calc(a[L],++dep[x]); return; }
int mid=(L+R)>>1;
if (r<=mid) mdf(lson,l,r);
else if (l>mid) mdf(rson,l,r);
else mdf(lson,l,mid),mdf(rson,mid+1,r);
dep[x]=min(dep[ls],dep[rs]); sum[x]=(sum[ls]+sum[rs])%mod[0];
}

ll que(int x,int L,int R,int l,int r){
if (L==l && r==R) return sum[x];
int mid=(L+R)>>1;
if (r<=mid) return que(lson,l,r);
else if (l>mid) return que(rson,l,r);
else return (que(lson,l,mid)+que(rson,mid+1,r))%mod[0];
}

int main(){
freopen("verbinden.in","r",stdin);
freopen("verbinden.out","w",stdout);
scanf("%d%d%lld%d",&n,&m,&mod[0],&c);
while (mod[cnt]!=1) cnt++,mod[cnt]=phi(mod[cnt-1]);
mod[++cnt]=1;
rep(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
build(1,1,n);
while (m--){
scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
if (!op) mdf(1,1,n,l,r); else printf("%lld\n",que(1,1,n,l,r));
}
return 0;
}