[BZOJ1937][SHOI2004]Mst最小生成树(KM算法,最大费用流)
1937: [Shoi2004]Mst 最小生成树
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Input
第 一行为N、M,其中 表示顶点的数目, 表示边的数目。顶点的编号为1、2、3、……、N-1、N。接下来的M行,每行三个整数Ui,Vi,Wi,表示顶点Ui与Vi之间有一条边,其权值为 Wi。所有的边在输入中会且仅会出现一次。再接着N-1行,每行两个整数Xi、Yi,表示顶点Xi与Yi之间的边是T的一条边。
Output
输出最小权值
Sample Input
6 9
1 2 2
1 3 2
2 3 3
3 4 3
1 5 1
2 6 3
4 5 4
4 6 7
5 6 6
1 3
2 3
3 4
4 5
4 6
Sample Output
8
【样例说明】
边(4,6)的权由7修改为3,代价为4
边(1,2)的权由2修改为3,代价为1
边(1,5)的权由1修改为4,代价为3
所以总代价为4+1+3=8
修改方案不唯一。HINT
1<=n<=50,1<=m<=800,1<=wi<=1000
n-->点数..m-->边数..wi--->边权Source
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注意到我们只可能增大树边,减小非树边,那么设每条边的改动幅度为$|d[i]|$,那么对于一条树边i和非树边j,必有$w[i]-d[i] \leqslant w[j]+d[j]$,即$w[i]-w[j] \leqslant d[i]+d[j]$。于是我们把边看作点,按是否为树边将所有边分成二分图,树边i与非树边j的边设为w[i]-w[j]。可以发现d[i]实际上就是KM算法中的顶标。所以求一次KM算法并将所有匹配相加就是答案,因为不在匹配里的d[i]直接作为0即可。
重新复习一下KM算法。先将X部分的d[x]设为$max\{w[x][y]\}$,Y部分的d[y]设为0,然后求m次增广(直到有完备匹配)。每次增广如果失败,则设$mn=min\{a[i]+b[j]-w[i][j]\}$,将所有交错树上的d[x]+=mn,d[y]-=mn。
理论依据:若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i][j]的边<i,j>构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。所以这是一个不断修改顶标并在相等子图上做完备匹配的过程。(任意i,j保证$d[i]+d[j] \geqslant w[i][j]$)。
定理:每次增广顶标和必然变小,最后一定是满足$d[i]+d[j] \geqslant w[i][j]$的最小可能。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define mem(a,k) memset(a,k,sizeof(a)) #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) using namespace std; const int N=2000100,inf=0x3f3f3f3f; int n,m,u,v,ww,x,y,ans; int mp[60][60],w[1010][1010],lk[1010],lx[1010],ly[1010],vx[1010],vy[1010],s[1010],dep[60],fa[60][12]; bool chk[60][60]; struct E{ int u,v,w;}e[1010]; void dfs(int x,int f){ fa[x][0]=f; dep[x]=dep[f]+1; rep(i,1,10) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]; rep(i,1,n) if (i!=f && chk[x][i]) dfs(i,x); } int LCA(int x,int y){ if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y); int t=dep[x]-dep[y]; for (int i=10; ~i; i--) if (t&(1<<i)) x=fa[x][i]; if (x==y) return x; for (int i=10; ~i; i--) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; return fa[x][0]; } bool find(int x){ vx[x]=1; rep(y,1,m) if (!vy[y]){ int t=lx[x]+ly[y]-w[x][y]; if (t==0){ vy[y]=1; if (lk[y]==-1 || find(lk[y])) { lk[y]=x; return 1; } }else s[y]=min(s[y],t); } return 0; } void KM(){ mem(lk,-1); mem(lx,-inf); mem(ly,0); rep(i,1,m) rep(j,1,m) lx[i]=max(lx[i],w[i][j]); rep(x,1,m){ rep(i,1,m) s[i]=inf; while (1){ mem(vx,0); mem(vy,0); if (find(x)) break; int d=inf; rep(i,1,m) if (!vy[i]) d=min(d,s[i]); rep(i,1,m) if (vx[i]) lx[i]-=d; rep(i,1,m) if (vy[i]) ly[i]+=d; else s[i]-=d; } } rep(i,1,m) if (lk[i]!=-1) ans+=w[lk[i]][i]; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); rep(i,1,m) scanf("%d%d%d",&u,&v,&ww),e[i]=(E){u,v,ww},mp[u][v]=mp[v][u]=i; rep(i,2,n) scanf("%d%d",&x,&y),chk[x][y]=chk[y][x]=1; dfs(1,0); rep(i,1,m){ int x=e[i].u,y=e[i].v,lca=LCA(x,y); if (!chk[x][y]){ while (x!=lca) w[mp[x][fa[x][0]]][i]=e[mp[x][fa[x][0]]].w-e[i].w,x=fa[x][0]; while (y!=lca) w[mp[y][fa[y][0]]][i]=e[mp[y][fa[y][0]]].w-e[i].w,y=fa[y][0]; } } KM(); printf("%d\n",ans); return 0; }
好久没写最大费用最大流了发现自己完全不会写,调了整整一上午。需要注意:dis[]初始要赋为-inf,bfs()返回真的条件是dis[T]>0,其余不变。因为边里会有负值。
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i]) typedef long long ll; using namespace std; const int N=2000100,inf=0x3f3f3f3f; int n,m,u,v,w,x,y,S,T,mn,cnt=1,ans; int to ,f ,c ,nxt ,h[1010],pre[1010],dis[1010],q ; int mp[60][60],dep[60],fa[60][12]; bool inq ,chk[60][60]; struct E{ int u,v,w;}e[1010]; void add(int u,int v,int w,int co){ to[++cnt]=v; f[cnt]=w; c[cnt]=co; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; to[++cnt]=u; f[cnt]=0; c[cnt]=-co; nxt[cnt]=h[v]; h[v]=cnt; } bool spfa(){ rep(i,0,T) dis[i]=-inf,pre[i]=-1,inq[i]=0; dis[S]=0; inq[S]=1; q[1]=S; for (int st=0,ed=1; st!=ed; ){ int x=q[++st]; inq[x]=0; For(i,x) if (f[i] && dis[k=to[i]]<dis[x]+c[i]){ dis[k]=dis[x]+c[i]; pre[k]=i; if (!inq[k]) inq[k]=1,q[++ed]=k; } } return dis[T]>0; } void mcmf(){ for (ans=0; spfa(); ans+=dis[T]*mn){ mn=inf; for (int i=pre[T]; ~i; i=pre[to[i^1]]) mn=min(mn,f[i]); for (int i=pre[T]; ~i; i=pre[to[i^1]]) f[i]-=mn,f[i^1]+=mn; } } void dfs(int x,int f){ fa[x][0]=f; dep[x]=dep[f]+1; rep(i,1,10) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]; rep(i,1,n) if (i!=f && chk[x][i]) dfs(i,x); } int LCA(int x,int y){ if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y); int t=dep[x]-dep[y]; for (int i=10; ~i; i--) if (t&(1<<i)) x=fa[x][i]; if (x==y) return x; for (int i=10; ~i; i--) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; return fa[x][0]; } int main(){ freopen("bzoj1937.in","r",stdin); freopen("bzoj1937.out","w",stdout); scanf("%d%d",&n,&m); rep(i,1,m) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),e[i]=(E){u,v,w},mp[u][v]=mp[v][u]=i; rep(i,2,n) scanf("%d%d",&x,&y),chk[x][y]=chk[y][x]=1; dfs(1,0); S=m+1; T=m+2; rep(i,1,m){ int x=e[i].u,y=e[i].v; if (chk[x][y]) add(S,i,1,0); else{ add(i,T,1,0); int lca=LCA(x,y); while (x!=lca) add(mp[x][fa[x][0]],i,1,e[mp[x][fa[x][0]]].w-e[i].w),x=fa[x][0]; while (y!=lca) add(mp[y][fa[y][0]],i,1,e[mp[y][fa[y][0]]].w-e[i].w),y=fa[y][0]; } } mcmf(); printf("%d\n",ans); return 0; }
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