7-14 最小生成树的唯一性

给定一个带权无向图，如果是连通图，则至少存在一棵最小生成树，有时最小生成树并不唯一。本题就要求你计算最小生成树的总权重，并且判断其是否唯一。

输入格式：

首先第一行给出两个整数：无向图中顶点数 N（≤）和边数 M。随后 M 行，每行给出一条边的两个端点和权重，格式为“顶点1 顶点2 权重”，其中顶点从 1 到N 编号，权重为正整数。题目保证最小生成树的总权重不会超过 2​30​​。

输出格式：

如果存在最小生成树，首先在第一行输出其总权重，第二行输出“Yes”，如果此树唯一，否则输出“No”。如果树不存在，则首先在第一行输出“No MST”，第二行输出图的连通集个数。

输入样例 1：

5 7
1 2 6
5 1 1
2 3 4
3 4 3
4 1 7
2 4 2
4 5 5

输出样例 1：

11
Yes

输入样例 2：

4 5
1 2 1
2 3 1
3 4 2
4 1 2
3 1 3

输出样例 2：

4
No

输入样例 3：

5 5
1 2 1
2 3 1
3 4 2
4 1 2
3 1 3

输出样例 3：

No MST
2

思路：我们可能先判断连通性，由于结点数比较少，可以通过dfs直接判断连通块的个数，对于最小生成树的唯一性，我们可以通过求出次小生成的权值，在于最小生成树的权值进行比较即可。#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn=550;

int vis[maxn];
const long long int inf=0x3f3f3f3f3f3f3f;
int G[maxn][maxn];
vector<int> v[maxn];
int fa[maxn];
long long int dis[maxn];
long long int pa[maxn][maxn];
bool used[maxn][maxn];
int n,m;
void dfs(int x)
{
if(vis[x]) return ;
vis[x]=1;
for(int i=0; i<v[x].size(); i++)
{
dfs(v[x][i]);
}
}
long long int prim(int x)
{
memset(fa,0,sizeof(fa));
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(pa,0,sizeof(pa));
memset(used,false,sizeof(used));
for(int i=1; i<=n; i++)
{
dis[i]=G[x][i];
fa[i]=x;
}
vis[x]=1;
long long int ans=0;

int cnt=0;
int idx=x;
for(int ka=1; ka<=n-1; ka++)
{
long long int maxx=inf;
idx=0;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(!vis[i]&&dis[i]<maxx)
{
maxx=dis[i];
idx=i;
}
}
ans+=dis[idx];
vis[idx]=1;
used[idx][fa[idx]]=used[fa[idx]][idx]=1;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(vis[i]&&i!=idx )
{
pa[idx][i]=pa[i][idx]=max(dis[idx],pa[i][fa[idx]]);
}
else
{
if(dis[i]>G[idx][i])
{
fa[i]=idx;
dis[i]=G[idx][i];
}
}
}
}
return ans;
}
long long int second_tree(long long int t)
{
long long int ans=inf;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=n; j++)
{
if(i!=j&&used[i][j]==0)
ans=min(ans,t+G[i][j]-pa[i][j]);
}
}
return ans;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(G,inf,sizeof(G));

for(int i=0; i<m; i++)
{
int x,y,d;
cin>>x>>y>>d;
G[x][y]=G[y][x]=d;
v[x].push_back(y);
v[y].push_back(x);
}
int cnt=0;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(vis[i]) continue;
cnt++;
dfs(i);
}
if(cnt>1)
{
cout<<"No MST"<<endl;
cout<<cnt<<endl;
return 0;
}
long long int tree=prim(1);
long long int t2=second_tree(tree);
cout<<tree<<endl;
if(t2!=tree) cout<<"Yes"<<endl;
else cout<<"No"<<endl;
}