MIT线性代数笔记-第二十五讲

Symmetric matrices

对称矩阵有什么特点?主要是以下两个性质:

1.特征值为实数

2.特征向量正交，或者可以通过选择正交(当λ值重复时，则可以在一个平面中选择两个垂直的特征向量λ值重复时，则可以在一个平面中选择两个垂直的特征向量)

我们知道，普通情况下，当A有n个独立的特征向量时，可以表示为A=SΛS−1A=SΛS−1,那么当A为对称矩阵时呢?A=QΛQ−1=QΛQT(其中Q为所有列都标准正交的矩阵)A=QΛQ−1=QΛQT(其中Q为所有列都标准正交的矩阵)

为什么对称矩阵的特征值为实数?

首先我们有:Ax=λxAx=λx

然后，我们做共轭处理(这里实际是假设A的特征值为复数):Axˇ=λˇxˇ−>xˇTAT=xˇTλˇ−>xˇTA=xˇTλˇAxˇ=λˇxˇ−>xˇTAT=xˇTλˇ−>xˇTA=xˇTλˇ（每个矩阵，如果有一个特征值为a + bi,那么必有对应的共轭复数a - bi）

我们对这个式子两边乘以xx,得:xˇTAx=xˇTλˇxxˇTAx=xˇTλˇx,我们再对Ax=λxAx=λx两边乘以xˇxˇ,得xˇTAx=λxˇTxxˇTAx=λxˇTx

于是，将两个式子对比，有λˇ=λλˇ=λ,所以λλ为实数

我们得出λλ为实数有一个前提，那就是xˇTxxˇTx不等于0，我们来看看它是什么形式



由此，我们也知道了一个复数向量乘以其共轭向量的转置，得到的必定大于0

之前我们推导的前提为A为实对称矩阵，那么A为复数矩阵呢?

我们知道，好的矩阵有两个性质:

1.λλ为实数

2.特征向量正交

满足此性质的为A=AT(实数情况下)A=AT(实数情况下)，A=AˇT(复数情况下)A=AˇT(复数情况下)

再来看看A=QΛQTA=QΛQT



由这个等式，可以知道每个对称矩阵都是互相正交的投影矩阵的组合

当我们知道对称矩阵的特征值为实数时，我们就想知道这些特征值到底为正数还是负数(之前的课里讲过,微分方程以及幂方程的收敛性都与λλ有关，因此它的正负号很重要),那么我们应该如何得知?答案是通过主元(即pivot)!!!

引入一个定理:

如果A是对称矩阵，则它的主元符号与特征值符号相同,数目也相同

Positive Definite Matrices

正定矩阵的性质:

对称矩阵且主元,特征值和所有子行列式(需要检查n个)都为正数

为什么行列式要检查所有n个子行列式?看看这个例子:

[−100−3][−100−3]

行列式为整数，但是显然不是正定矩阵，因此我们要检查-1,4，发现-1不满足正数