公式推导

公式推导

(dn−1−w⃗ ′n+1x⃗ n−1)2======(dn−1−(w⃗ n+2μnenx⃗ n)′x⃗ n−1)2d2n−1−2R[d′n−1(w⃗ n+2μnenx⃗ n)′x⃗ n−1]+[(w⃗ n+2μnenx⃗ n)′x⃗ n−1]2d2n−1−2R[d′n−1w⃗ ′nx⃗ n−1]−4R[d′n−1μne′nx⃗ ′nx⃗ n−1]+(w⃗ ′nx⃗ n−1+2μne′nx⃗ ′nx⃗ n−1)2d2n−1−2R[d′n−1w⃗ ′nx⃗ n−1]−4R[d′n−1μne′nx⃗ ′nx⃗ n−1]+(w⃗ ′nx⃗ n−1)2+4R[x⃗ ′n−1w⃗ nμne′nx⃗ ′nx⃗ n−1]+4(μne′nx⃗ ′nx⃗ n−1)24(e′nx⃗ ′nx⃗ n−1)2μ2n+4R[x⃗ ′n−1w⃗ ne′nx⃗ ′nx⃗ n−1−d′n−1e′nx⃗ ′nx⃗ n−1]μn+d2n−1−2R[d′n−1w⃗ ′nx⃗ n−1]+(w⃗ ′nx⃗ n−1)24e2nx2n,n−1μ2n+4R[((wx)′n,n−1−d′n−1)e′nxn,n−1]μn+d2n−1−2R[d′n−1wxn,n−1]+(wxn,n−1)2(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(1)(dn−1−w→n+1′x→n−1)2=(dn−1−(w→n+2μnenx→n)′x→n−1)2(2)=dn−12−2R[dn−1′(w→n+2μnenx→n)′x→n−1](3)+[(w→n+2μnenx→n)′x→n−1]2(4)=dn−12−2R[dn−1′w→n′x→n−1]−4R[dn−1′μnen′x→n′x→n−1]+(5)(w→n′x→n−1+2μnen′x→n′x→n−1)2(6)=dn−12−2R[dn−1′w→n′x→n−1]−4R[dn−1′μnen′x→n′x→n−1]+(w→n′x→n−1)2(7)+4R[x→n−1′w→nμnen′x→n′x→n−1]+4(μnen′x→n′x→n−1)2(8)=4(en′x→n′x→n−1)2μn2+4R[x→n−1′w→nen′x→n′x→n−1−dn−1′en′x→n′x→n−1]μn(9)+dn−12−2R[dn−1′w→n′x→n−1]+(w→n′x→n−1)2(10)=4en2xn,n−12μn2+4R[((wx)n,n−1′−dn−1′)en′xn,n−1]μn+dn−12(11)−2R[dn−1′wxn,n−1]+(wxn,n−1)2

xn,n−1=x⃗ ′nx⃗ n−1xn,n−1=x→n′x→n−1

wxn,n−1=w⃗ ′nx⃗ n−1wxn,n−1=w→n′x→n−1

′==conj′==conj

∑Pl=0=S∑l=0P=S

[df(n−1)−∑l=0Pwf,l(n+1)⨀xf,l(n−1)]2=[df(n−1)−∑l=0P(wf,l(n)+2μf(n)x′f,l(n)⨀ef(n)))⨀xf,l(n−1)]2(34)(35)(34)[df(n−1)−∑l=0Pwf,l(n+1)⨀xf,l(n−1)]2(35)=[df(n−1)−∑l=0P(wf,l(n)+2μf(n)xf,l′(n)⨀ef(n)))⨀xf,l(n−1)]2

如下以一个子带为例：

[df(n=...===−1)−∑l=0P(wf,l(n)+2μf(n)x′f,l(n)ef(n))xf,l(n−1)]2d2f(n−1)−2R{d′f(n−1)∑l=0P[wf,l(n)xf,l(n−1)+2μf(n)x′f,l(n)ef(n)xf,l(n−1)]}+{∑l=0P[wf,l(n)xf,l(n−1)+2μf(n)x′f,l(n)ef(n)xf,l(n−1)]}2d2f(n−1)−2R{d′f(n−1)∑l=0P[wf,l(n)xf,l(n−1)]}−4R{d′f(n−1)∑l=0P[x′f,l(n)ef(n)xf,l(n−1)]}μf(n)+[∑l=0Pwf,l(n)xf,l(n−1)]2+4[∑l=0Px′f,l(n)ef(n)xf,l(n−1)]2μ2f(n)+4R{[∑l=0Pwf,l(n)xf,l(n−1)][∑l=0Px′f,l(n)ef(n)xf,l(n−1)]}μf(n)4[∑l=0Px′f,l(n)ef(n)xf,l(n−1)]2μ2f(n)+4R{[∑l=0Pwf,l(n)xf,l(n−1)][∑l=0Px′f,l(n)ef(n)xf,l(n−1)]−d′f(n−1)∑l=0P[x′f,l(n)ef(n)xf,l(n−1)]}μf(n)+d2f(n−1)−2R{d′f(n−1)∑l=0P[wf,l(n)xf,l(n−1)]}+[∑l=0Pwf,l(n)xf,l(n−1)]24[∑l=0Px′f,l(n)xf,l(n−1)]2e2f(n)μ2f(n)+4R{∑l=0P[wf,l(n)xf,l(n−1)−d′f(n−1)]∑l=0P[x′f,l(n)xf,l(n−1)]ef(n)}μf(n)+d2f(n−1)−2R{d′f(n−1)∑l=0P[wf,l(n)xf,l(n−1)]}+[∑l=0Pwf,l(n)xf,l(n−1)]2(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)(36)[df(n−1)−∑l=0P(wf,l(n)+2μf(n)xf,l′(n)ef(n))xf,l(n−1)]2(37)=df2(n−1)−2R{df′(n−1)∑l=0P[wf,l(n)xf,l(n−1)+2μf(n)xf,l′(n)ef(n)xf,l(n−1)]}(38)+{∑l=0P[wf,l(n)xf,l(n−1)+2μf(n)xf,l′(n)ef(n)xf,l(n−1)]}2(39)...(40)=df2(n−1)−2R{df′(n−1)∑l=0P[wf,l(n)xf,l(n−1)]}(41)−4R{df′(n−1)∑l=0P[xf,l′(n)ef(n)xf,l(n−1)]}μf(n)(42)+[∑l=0Pwf,l(n)xf,l(n−1)]2+4[∑l=0Pxf,l′(n)ef(n)xf,l(n−1)]2μf2(n)+(43)4R{[∑l=0Pwf,l(n)xf,l(n−1)][∑l=0Pxf,l′(n)ef(n)xf,l(n−1)]}μf(n)(44)=4[∑l=0Pxf,l′(n)ef(n)xf,l(n−1)]2μf2(n)+(45)4R{[∑l=0Pwf,l(n)xf,l(n−1)][∑l=0Pxf,l′(n)ef(n)xf,l(n−1)]−df′(n−1)∑l=0P[xf,l′(n)ef(n)xf,l(n−1)]}μf(n)(46)+df2(n−1)−2R{df′(n−1)∑l=0P[wf,l(n)xf,l(n−1)]}+[∑l=0Pwf,l(n)xf,l(n−1)]2(47)=4[∑l=0Pxf,l′(n)xf,l(n−1)]2ef2(n)μf2(n)+(48)4R{∑l=0P[wf,l(n)xf,l(n−1)−df′(n−1)]∑l=0P[xf,l′(n)xf,l(n−1)]ef(n)}μf(n)(49)+df2(n−1)−2R{df′(n−1)∑l=0P[wf,l(n)xf,l(n−1)]}+[∑l=0Pwf,l(n)xf,l(n−1)]2

$$