旋转矩阵公式推导

　　

　　1.在二维平面中：如下图所示，在xoy 平面中有一向量op⃗=(x,y) T ，旋转ϕ 角后变为向量op⃗ ′ =(x ′ ,y ′ ) T 。

　　


　　据图可得：x=|op⃗|cosθ；y=|op⃗|sinθ ，经旋转ϕ 角后有:

　　x ′ =|op⃗|cos(θ+ϕ)=|op⃗|(cosθcosϕ−sinθsinϕ)=xcosϕ−ysinϕ

　　y ′ =|op⃗|sin(θ+ϕ)=|op⃗|(sinθcosϕ+cosθsinϕ)=xsinϕ+ycosϕ；

写成矩阵形式：

　　(x ′ y ′ )=(cosϕsinϕ −sinϕcosϕ )(xy )

　　2.在三维空间中：如下图所示，若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。



　　例： op⃗ 绕X轴旋转ϕ 角，有：

旋转前：


旋转后：


写成矩阵形式：


则绕X轴旋ϕ角的旋转矩阵为： R x (ϕ)=（100 0cosϕ−sinϕ 0sinϕcosϕ ）

同理可得绕X、Y、Z轴旋转的不同角度的旋转矩阵（方向余弦矩阵）分别为：



　　最后，若op⃗ 绕某一定轴旋转，从欧拉定律中可知，绕着固定轴做一个角值的旋转，可以被视为分别以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z作为旋转轴的旋转的叠加。