Atcoder Regular Contest 064 F Rotated Palindromes

Rotated Palindromes

Problem Statement

给出n,k。

问有多少个长度为n的序列a，对于任意1≤i≤n满足1≤ai≤k,并且序列a经过若干次循环左移能变成回文序列.

For example:循环左移一次1,1,2,3 -> 1,2,3,1

1≤n,k≤109

Solution

给出一个显然的结论，一个回文串的最小循环节一定回文。

先找到n的所有约数，设第i个约数为Xi。

设fi表示序列的最小循环节长度为Xi，最小循环节的个数。

考虑fi对答案的贡献。

循环节对应的序列左移操作Xi次，就可以得到Xi种不同的序列。

但可以发现，若Xi为偶数时会算重一半，乘上12。

fi的求法也不难，容斥即可。即fi=k⌊Xi+12⌋-∑Xd|Xifd

时间复杂度O(σ20(n))

Code

#include<bits/stdc++.h>

#define fo(i,j,l) for(int i=j;i<=l;++i)
#define fd(i,j,l) for(int i=j;i>=l;--i)

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=2e5,mo=1e9+7;

int n,o,p;
ll f
,a
,k;

ll ksm(ll o,ll t)
{
ll y=1;
for(;t;t>>=1,o=o*o%mo)
if(t&1)y=y*o%mo;
return y;
}

int main()
{
cin>>n>>k;
for(int i=1;i*i<=n;++i)
if(n%i==0){
a[++o]=i;
if(i*i%n)a[++o]=n/i;
}
sort(a+1,a+o+1);
ll ans=0;
fo(i,1,o){
f[i]=ksm(k,(a[i]+1)>>1);
fo(l,1,i-1)if(a[i]%a[l]==0)f[i]=(f[i]-f[l]+mo)%mo;
(a[i]&1)?ans=(ans+f[i]*a[i])%mo:ans=(ans+(f[i]*a[i]>>1))%mo;
}
cout<<ans;
}