[AtCoder Regular Contest 064] F: Rotated Palindrome (arc064F)

原题链接

https://arc064.contest.atcoder.jp/tasks/arc064_d

Description

给出N，M<=1e9

求有多少个长度为N，每个字符为1~M的一个数的字符串，满足该串旋转若干次后可以得到一个回文串（旋转定义为第一个字符放到最后一个位置）

Solution

考虑每个回文串的贡献

假设一个回文串旋转p次之后第一次又回文了，那么这个串对答案的贡献就是p

考虑求旋转p次后第一次又回文的回文串个数

将串分为N/gcd(N,p)N/gcd(N,p)段，每段长度为gcd(N,p)gcd(N,p)

画图可以发现，若p不是N的约数，并且旋转p次以后回文，那么旋转gcd(N,p)gcd(N,p)次一定是回文的

所以我们只需要考虑p是N的约数的情况

将串分为N/pN/p段，每段长度为p

旋转p次就是将第一段挪到最后

分情况讨论

若N/pN/p为奇数，那么要求每一段都是相同的一个回文串 （p=3 n=9 121 121 121）

若N/pN/p为偶数，那么要求每两段都是相同的一个回文串 （p=3 n=12 122 221 122 221）

直接这样算会算重

因为若旋转pp次以后回文，那么旋转pp的倍数次一定也回文

那么对于每个p,我们要将它的约数减掉

设F[i]F[i]表示刚好旋转i次第一次回文的回文串数,S[i]S[i]表示按照上面讨论算出的旋转i次回文的回文串数（不一定是第一次）

F[i]=S[i]−∑d|i and d≠iF[d]F[i]=S[i]−∑d|i and d≠iF[d]

将N的约数求出来，递推一下就好了

Solution

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define mo 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
LL ksm(LL k,LL n)
{
LL s=1;
for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo;
return s;
}
int pi[100005];
LL f[100005];
int main()
{
LL n,m;
cin>>n>>m;
fo(i,1,sqrt(n))
{
if(n%i==0)
{
pi[++pi[0]]=i;
if(n%(n/i)==0&&n/i!=i) pi[++pi[0]]=n/i;
}
}
LL ans=0;
sort(pi+1,pi+pi[0]+1);
fo(i,1,pi[0])
{
if(n/pi[i]%2==0)
{
f[i]=ksm(m,pi[i]);
}
else
{
f[i]=ksm(m,(pi[i]+1)/2);
}
fo(j,1,i-1) if(pi[i]%pi[j]==0) f[i]=(f[i]-f[j]+mo)%mo;
ans=(ans+f[i]*pi[i])%mo;
}
printf("%lld\n",ans);
}