POJ Longge's problem 积性函数

传送门

思路

参考代码

传送门

思路

  才学了数论函数又回来看这题，很想知道我以前是怎么过的。。。发现这个数据规模只能强行推导，所以就瞄了一眼以前的代码，就发现了做法。

  这个题的正确做法是枚举 gcdgcd，它的时间复杂度为 O(n−−√)O(n)。根据经验，与 nn 的 gcdgcd 为枚举值的个数是 φ(ngcd)φ(ngcd)。求欧拉函数的时间复杂度为 O(n−−√)O(n)，所以算法的整体时间复杂度为 O(10n−−√)O(10n)，1010 代表质因数个数。

  然而另外一个跑得更快的算法是怎么做的，我怎么看不懂了？？然后我又研究了下，发现是这样的。

  第一个算法的问题，实际上是：

Ans=∑d∣nndφ(d)Ans=∑d∣nndφ(d)

  这难道不是一个狄利克雷卷积的形式吗？设答案为 ff：

f=id∗φf=id∗φ 和 φφ 都是积性函数，所以 ff 也是积性函数。我们可以利用积性函数的性质求解 ff。

  可得：

f(n)=f(pr11)f(pr22)⋯f(prkk)f(n)=f(p1r1)f(p2r2)⋯f(pkrk)

  所以我们只需要知道怎么求 f(pr)f(pr) 就好了。

  很明显，当 r=1r=1 时，f(p)=2p−1f(p)=2p−1。当 r≠1r≠1 时，随手写几个找找规律就是了：

f(p5)=p5+p4⋅(p−1)+p3⋅p(p−1)+p2⋅p2(p−1)+p⋅p3(p−1)+p4(p−1)f(p5)=p5+p4⋅(p−1)+p3⋅p(p−1)+p2⋅p2(p−1)+p⋅p3(p−1)+p4(p−1)

  时间复杂度为 n−−√n。

参考代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <stack>
#include <queue>
#include <deque>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <list>
typedef long long INT;
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
INT readIn()
{
INT a = 0;
bool minus = false;
char ch = getchar();
while (!(ch == '-' || (ch >= '0' && ch <= '9'))) ch = getchar();
if (ch == '-')
{
minus = true;
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9')
{
a = a * 10 + (ch - '0');
ch = getchar();
}
if (minus) a = -a;
return a;
}
void printOut(INT x)
{
char buffer[20];
INT length = 0;
if (x < 0)
{
putchar('-');
x = -x;
}
do
{
buffer[length++] = x % 10 + '0';
x /= 10;
} while (x);
do
{
putchar(buffer[--length]);
} while (length);
putchar('\n');
}

long long n;

void run()
{
while (~scanf("%lld", &n))
{
//F = id * phi
long long f = 1;
int to = std::sqrt(n);
for (int i = 2; i <= to; i++)
{
if (n % i) continue;
int Exp = 0;
long long power = 1;
while (!(n % i))
{
n /= i;
Exp++;
power *= i;
}
power /= i;
f *= (long long)Exp * power * (i - 1) + power * i;
}
if (n) f *= 2 * n - 1;
printOut(f);
}
}

int main()
{
run();
return 0;
}