poj 2480 Longge's problem（积性函数 & 欧拉函数）

http://poj.org/problem?id=2480

大意：求解 ∑gcd(i, N) 1<=i <=N。

对于最大公约数，它有这样的性质，gcd(n,m1*m2)=gcd(nm1)*gcd(n,m2)   比如gcd(6,12)=gcd(6,3)*gcd(6,4).

我们设f(N)=∑gcd(i, N)，那么它也应该是一个积性函数。（积性函数的积是积性函数，积性函数的和是积性函数）

设

其中p是和n互素的数字。

又设

，由积性函数的性质：


      （*）

同时我们知道：



 欧拉函数有这样的计算方式：


所以得到：



带入（*）中：



写代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;

int main()
{
LL n,ans;
while(cin>>n){
int len=sqrt(n*1.0);
ans=n;
LL a=0,p=1;
for(int i=2;i<=len;i++){
a=0;
if(n%i==0){
a++;
n/=i;
p=i;
while(n%i==0) {
a++;
n/=i;
}
ans=ans/p*(p+a*p-a);
}
}
if(n>1){
ans=ans/n*(n+n-1);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}