BZOJ.1022.[SHOI2008]小约翰的游戏John(博弈论 Anti-Nim)

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Anti-Nim游戏：

先手必胜当且仅当：

1.所有堆的石子数为1，且异或和为0

2.至少有一堆石子数>1，且异或和不为0

简要证明：

对于1：若异或和为1，则有奇数堆；异或和为0，则有偶数堆。比较显然。

对于2：(1)对于只有一堆石子数>1的情况(异或和一定不为0)，先手可以操作这堆石子 将场面变为奇数堆个数都为1的石子堆

(2)对于至少有两堆石子数>1的情况：

若异或和=0，先手必败

若异或和!=0，先手必胜

类似Nim的证明，若异或和=0，则怎样操作都会使异或和!=0；若异或和!=0，则一定有一步能使异或和=0.(NP性质的转换)

这两种状态不断转换，总会在某一时刻变为2.(1)中的状态，即一个必胜态，而这个必胜态是由异或和=0时转移来的。

即异或和=0时一定会在某一时刻转移到一个必胜状态。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define gc() getchar()
inline int read()
{
int now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now;
}

int main()
{
int t=read(),n,res,a; bool f;
while(t--)
{
n=read(), f=res=0;
while(n--)
a=read(), a>1?f=1:0, res^=a;
puts(f^(res>0)?"Brother":"John");
}
return 0;
}