【HDU4676】Sum Of Gcd-莫队算法+欧拉函数

测试地址：Sum Of Gcd

题目大意：给定一个11~nn的全排列AA，若干个询问，每次询问给出一个区间[l,r][l,r]，要求得出∑l≤i<j≤rgcd(Ai,Aj)∑l≤i<j≤rgcd(Ai,Aj)的值。

做法：本题需要用到莫队算法+欧拉函数。

我们不好直接统计各个数对的最大公约数出现的次数，但是我们可以比较简单地统计各个数对的公约数出现的次数。由于数对的公约数都是数对最大公约数的约数（有点绕……），我们很自然地思考一个数和它的约数之间有什么容易统计的关系。

我们可以用一个结论将一个数字和它的约数建立统计关系：

n=∑d|nφ(d)n=∑d|nφ(d)

那么有：

∑l≤i<j≤rgcd(Ai,Aj)∑l≤i<j≤rgcd(Ai,Aj)

=∑l≤i<j≤r∑d|gcd(Ai,Aj)φ(d)=∑l≤i<j≤r∑d|gcd(Ai,Aj)φ(d)

=∑nd=1φ(d)∑l≤i<j≤r[d|Ai][d|Aj]=∑d=1nφ(d)∑l≤i<j≤r[d|Ai][d|Aj]

显然式子中的∑l≤i<j≤r[d|Ai][d|Aj]∑l≤i<j≤r[d|Ai][d|Aj]就是指dd作为区间内数对的公约数出现的次数。而统计每个数作为公约数出现的次数的方法就很简单了，你只需要统计每个数ii是区间内多少个数的约数，令这个数值为cnticnti，那么它作为公约数出现的次数就是cnti(cnti−1)2cnti(cnti−1)2，这样就将问题转化为了对区间内所有数的约数出现的次数的统计。

接下来我们就可以用莫队算法解决了。我们预先处理出所有数的所有约数以及欧拉函数，然后每新增或删除一个元素，对它的所有约数更新cntdcntd。很显然，对于一个约数dd，在新增一个元素时，答案增加(cntd−1)φ(d)(cntd−1)φ(d)，在删除一个元素时，答案减少cntdφ(d)cntdφ(d)，注意这里的cntdcntd是更新后的值。每新增或删除一个元素的复杂度大概在O(logn)O(log⁡n)左右，所以总的时间复杂度是O(nn−−√logn)O(nnlog⁡n)，可以通过此题。

（最近在学习分块，据说莫队算法是分块的一种，所以也做一道题吧……）

以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int T,n,m,blocklen,block[20010],a[20010],fac[20010][210];
ll phi[20010],p[20010],cnt[20010],ans[20010],sum;
bool prime[20010]={0};
struct Query
{
int id,l,r;
}q[20010];

void calc_phi()
{
prime[1]=1;p[0]=0;
for(int i=1;i<=20000;i++) phi[i]=1;
for(int i=2;i<=20000;i++)
{
if (!prime[i]) phi[i]=i-1,p[++p[0]]=i;
for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=20000;j++)
{
prime[i*p[j]]=1;
if (i%p[j]==0) {phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}
phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
}
}
}

bool cmp(Query a,Query b)
{
if (block[a.l]!=block[b.l]) return block[a.l]<block[b.l];
else return a.r<b.r;
}

void expand(int x,ll add)
{
for(int i=1;i<=fac[a[x]][0];i++)
{
int j=fac[a[x]][i];
if (add==1) sum+=cnt[j]*phi[j];
else sum-=(cnt[j]-1)*phi[j];
cnt[j]+=add;
}
}

void Mo()
{
int l=1,r=0;
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
sum=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
while (q[i].l<l) expand(--l,1);
while (q[i].r>r) expand(++r,1);
while (q[i].l>l) expand(l++,-1);
while (q[i].r<r) expand(r--,-1);
ans[q[i].id]=sum;
}
}

int main()
{
scanf("%d",&T);
calc_phi();
for(int i=1;i<=20000;i++)
{
fac[i][0]=0;
for(int j=1;j*j<=i;j++)
if (i%j==0)
{
fac[i][++fac[i][0]]=j;
if (j*j!=i) fac[i][++fac[i][0]]=i/j;
}
}

int t=1;
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
scanf("%d",&m);
blocklen=(int)sqrt(n);
for(int i=1;i<=n;i++)
block[i]=i/blocklen;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
q[i].id=i;
}

sort(q+1,q+m+1,cmp);
Mo();

printf("Case #%d:\n",t);
for(int i=1;i<=m;i++)
printf("%lld\n",ans[i]);
t++;
}

return 0;
}