寒假训练2018.2.6训练日志------dp学习（一）

       01背包问题应该是dp最基础的知识，但是前几天一直非常不懂，因此一直把背包当作一个模板来用，但效果不好。所以今天手动模拟了一遍后，发现似乎稍微明白一点了。这也说明遇到难懂的代码，如果是在理解不了，我们不妨去模拟代码的执行过程，来尝试理解它。这时候绝对绝对绝对不要偷懒，不要认为自己能通过凭空想像来解决它，否则的话容易在一个坑里待很久，浪费很多没必要的时间。

01背包问题：

（此处只输出最优解的值，不涉及最优解的方案，现在还不太会）。

一般写法（二维）：

定义二维数组  f[i][j]（i表示前几个数，j表示当前的剩余空间）
第一层for循环枚举i（前一个数，前两个数，前三个数......前N个数）   // i 顺序枚举时可以边输入数据边运算，逆序则不可以。
 第二层for循环枚举j（剩余空间为零、一、二、三、四、五、六......M） //在一般写法中对 j 的枚举顺序无要求，但用滚动数组写时要注意j顺序。
   if（当前剩余空间<当前物品的体积）则该物体不可能被放入（即使是只放这一个物品也放不下）。显然f[i][j]=f[i-1][j]。
  else（当前剩余空间>=当前物品的体积）此时便有放入当前物品的可能，同时最优方案中：①可能不含当前物品，②也可能是当前物品+之前某个或某几个物品。所以前者同上：f[i][j]=f[i-1][j];
如果后者，不妨现将当前物品放入背包，此时剩余空间为（j-当前物品的体积），问题转化为在当前剩余空间中，怎样放置前i-1个物体才能使结果最优。而f[i-1]所有关于j的解在之前已经全部解出，
因此，后者：f[i][j]=max（f[i-1][j]，当前物品价值+f[i-1][j-当前物品体积]）。
cout<<最大价值f
[M]；
//程序结束。

滚动数组写法（一维）：

定义一维数组 f[j]；（j同理表示当前剩余空间）
第一层for循环枚举i
 第二层循环枚举j（j必须是逆序M，M-1，M-2.......2，1）//为什么呢？
/* 思考这么几个问题：
①、二维写法和一维写法的区别：前者对各种“j”的记录是在不同的“i”下分别进行的；f[i][j]的取值由f[i-1][j]决定，初此之外f[i][j]的改变并不会影响到f[i-1][j]的值；
②、一维写法由来：我们发现“i”中各个“j”（即f[i][j]）均由f[i-1][j]各项确定，而与i-1之前的数据均无关，所以我们可以用“i”的各个结果来覆盖“i-1”的各个值；
③、为什么逆序枚举“j”（j-中减号起到重要作用）：在求“i”中各项时，我们要保证当前使用的f[j]是i-1状态下的值，即我们不能在f[j]还没使用时就去覆盖它，我们逆序枚举“j”，能保证每次求解f[j]时用到的
f（j-当前物体体积）均未被覆盖，且f[j]不会影响后续f[j]的求解（因为j-当前物体体积总是<j，且之后的“j”总是<之前的“j”）；而若顺序枚举“j”则两者均无法实现。
*/
 同理if（当前剩余空间<当前物品的体积）则该物体不可能被放入，即此时f[j]不需要被刷新。因此可以不作处理。

else（当前剩余空间>=当前物品的体积）同上，有①②两种可能，前者f[j]不需要被刷新。后者f[j]=当前物品价值+f[j-当前物品体积]；
所以if，
else合并为一个if（当前剩余空间>=当前物品的体积）f[j]=max（f[j]，f[j-当前物体体积]+当前物体价值）；
cout<<最大价值f[M]；
//程序结束。

最后：一维数组写法虽然简单，占用内存空间小，但如果题目要求输入最优解的选择方案，则不好实现。此时因为二维解法把各种物品情况各种情况均记录了下来，所以理论应该好实现一些。不过现在也没想到怎么做。

二维模拟过程：



一维模拟：



模拟代码：