关于线性空间和线性映射

在超分辨率重建过程中的图像块配对时，经常会提到非线性映射这么一个词，所以抽时间整理一下关于线性映射和非线性映射的相关概念。

为了搞清楚线性映射，首先得搞清楚线性空间，为了搞清楚线性空间，首先要知道数域的概念以及由此展开的n多线性空间的概念。

数域：是一个集合含有加法和乘法，含有元素0，对于任意元素a，有a+0=a，含有元素1，满足a*1=a，任意元素a存在负元素b，满足a+b=0。非0元素a存在逆元素b，满足a*b=1，对于加法和乘法封闭。常用的数域有有理数域，实数域和复数域。

映射：映射的概念是对于集合S到S’有一规则S->S‘，对于S中的任意元素，在S’中都有元素a‘与之对应，记为f（a）= a‘

线性空间：设 V
是一个非空的集合，F 是一个数域，在集合
V 中定义两种代数运算,
一种是加法运算，用 + 来表示，另一种是数乘运算,
用 ∙ 来表示,
并且这两种运算满足下列八条运算律：

（1）加法交换律：a+b=b+a；

（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）；

（3）零元素：对任意a∈V，都有a+0 =a；

（4）对于V中任意的元素a都存在b使得a+b=0；

（5）数1:对a∈V，有a*1=a；

（6）对k,l∈F,α∈V
有：

  
(kl) ∙α= k ∙ (l ∙α)

（7）对k,l∈F,α∈V 有：

(k+l) ∙α= k ∙ α+l ∙α

（8）对k∈F,α, β∈V 有：

           k ∙(α+β)= k ∙ α+k ∙β 

满足如山条件的集合V，称为F上的线性空间。

如R！表示R上全体无序数列表示的集合

定义当中的加法和数乘

那么R！为实数域上的一个线性空间，这个有点像矩阵的加法和点乘。

线性空间的一些基本性质：

（1）含有零向量的向量组一定线性相关；
（2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关；
（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；
（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；
（5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩；
（6）等价的向量组秩相同。

线性相关／无关：

在线性代数里，矢量的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearly independent)，反之称为线性相关(linearly
dependent)。

线性组合：

类似A=a1v1+a2v2+...+anvn;

打个比方来说：cosx，cos2x，cosnx，这么一组函数组就是线性无关的，因为不能用其他的线性组合来表示。

线性空间的基底和维数：

定义：设V为数域F上的一个线性空间，如果V中的n个线性无关向量a1，a2，...,an使得V中的任意一个向量a都可以用上面那n个线性无关的向量线性表示出来：
a=k1a1+k2a2+...+knan；
则称a1，a2，...,an为V的一个基底，（k1，k2，...,kn）为a在基底下的坐标，称V为n维线性空间记dimV=n。
这个很好理解，结合我们的直角坐标系就能很容易的理解。线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,  
线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。

基变换与坐标变换：

上面说了，线性空间的基底并不唯一，比如直角坐标系，我把x轴y轴转一下，只要保持两者之间垂直，就是另一组基底了，那么设a1，a2,...,an;b1,b2,...bn是n维线性空间V的两组基底，他们之间存在如下关系：

那么对于所有的b1，b2就有下面这个式子

纳闷我们就称n阶方阵为旧基底到新基底的过渡矩阵（可逆）上式就可写为
，那么对应的坐标变化应该就不难推出了

线性空间的子空间：

设V为数域F上的一个n维线性空间，W为V的一个非空子集合，如果对于任意的a，b属于W，k，l属于F都有
ka+lb属于W，那么称W为V的一个子空间。每个有限维空间V，必定有两个平凡子空间，即单个零向量的子空间和它本身。

线性变换：

讲了上面那么多关于线性空间的知识，终于的到线性变换了，也就是我们所说的线性映射。（当然变换和映射也有区别，如果S的映射的集合S‘和S相等，那么这个映射可以称为变换，也就说线性变换肯定是线性映射了
）
定义：设V是数域F上的线性空间，T : V →V
为V上的映射，则称T为线性空间V上的一个变换或算子。若变换满足：对任意的k,l∈F和α,β∈V，有

则称T为线性变换或者线性算子。
线性变换的性质：

（1）T（0）=0；
（2）T（-x）=-T（x）
（3）线性相关的向量组的象仍然是线性相关的
例如即是一个线性变换。

线性变换的矩阵表示



    

即

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