关于一个NP完全问题的证明

这里给出的例子是教材《算法概论》P267的8.14。题目：

Prove that the following problem is NP-complete: given an undirected graph G = (V, E) and an integer k, return a clique of size k as well as an independent set of size k, provided both exist.

题目是说，给定一个无向图和整数k，要寻找一个大小为k的团和一个大小为k的独立集（假设都存在）。

首先，寻找一个大小为k的独立集，等价于寻找G的补图G’的大小为k的团，因此可以将问题简化为寻找一个无向图的大小为K的团。

我们将利用3SAT问题归约到K-团问题。

我们可以假设一个K个子句的3SAT问题，现在使用如下构造图的方式：不同字句中，符号不相反（如A与非A）的节点存在一条边。因此，如果我们找到了大小为K的团，则说明我们在K个子句里都找到了一个真值，3SAT成立。而如果K个子句的3SAT问题有解，则说明K个子句中都至少有一个真值，根据构造图的方式，只需要将每个子句中的那个真值找出，在图中对应的K个节点就会两两互连，成为一个大小为K的团。因此可以证明如果K个子句的3SAT问题是NP完全问题，K-团问题也是NP完全问题，题目8.14所描述的问题也是NP完全问题。