关于一个欧拉函数的性质的证明

这个性质是这样的：

对于任意的 n∈N* ，有：

∑d|nφ(d)=n\sum_{d|n}\varphi(d)=n

证明

设f(n)=∑d|nφ(d)f(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)

首先，当n=1n=1时，f(1)=1f(1)=1性质显然成立.

当n=pn=p时(pp为质数)，f(n)=φ(1)+φ(n)=1+(n−1)=nf(n)= \varphi(1) + \varphi(n)=1+(n-1)=n显然成立.

当n=pkn=p^k时，

f(n)=1+∑i=0k−1pi(p−1)f(n)=1+\sum_{i=0}^{k-1}p^i(p-1)

=1+(p−1)∑i=0k−1pi=1+(p-1)\sum_{i=0}^{k-1}p^i

=1+(p−1)∗pk−1p−1=1+pk−1=pk=n=1+(p-1)*\dfrac{p^k-1}{p-1}=1+p^k-1=p^k=n

成立.

因为φ(n)\varphi(n)是积性函数，根据莫比乌斯反演的充要性，得f(n)f(n)是积性函数.

对于一般形式n=∏ki=1piein=∏_{i=1}^kpi^{ei}

f(n)=∏ki=1f(piei)f(n)=∏_{i=1}^kf(pi^{ei})

=∏ki=1piei=∏_{i=1}^kpi^{ei}

=n=n

另外有一种证法参见Alan的blog(%%%)