[杜教筛 反演] LOJ#6229. 这是一道简单的数学题

推一推式子可以得到 ans=∑d=1n∑i=1⌊nd⌋∑j=1iij[gcd(i,j)=1]

有一个经典的等式是 ∑i=1ni[gcd(i,n)=1]=[n=1]+nφ(n)2

所以就有 ans=n2+12∑d=1n∑i=1⌊nd⌋i2φ(i)

考虑 ∑ni=1i2φ(i) 的出现次数，可以得到 ans=n2+12∑i=1ni2φ(i)⌊ni⌋

杜教筛

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <map>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=1000010,P=1e9+7,inv2=P+1>>1,inv6=(P+1)/6;

int n,lim,p
,phi
,pre
;

inline void Pre(const int n){
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!p[i]) p[++*p]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=*p && 1LL*p[j]*i<=n;j++){
p[p[j]*i]=1;
if(i%p[j]) phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
else{
phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
break;
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
pre[i]=(pre[i-1]+1LL*phi[i]*i%P*i)%P;
}

map<ll,int> M;

inline int calc(ll l,ll r){
l%=P; r%=P;
return (r-l+1)*(l+r)%P*inv2%P;
}

inline int calc(ll n){
n%=P;
return n*(n+1)%P*(2*n+1)%P*inv6%P;
}

inline int calc2(ll l,ll r){
return (calc(r)-calc(l-1))%P;
}

inline int calc3(ll n){
return 1LL*calc(1,n)*calc(1,n)%P;
}

inline int S(ll n){
if(n<=lim) return pre
;
if(M.count(n)) return M
;
int ret=calc3(n);
for(ll i=2,j;i<=n;i=j+1){
j=n/(n/i);
ret=(ret-1LL*calc2(i,j)*S(n/i))%P;
}
return M
=ret;
}

int main(){
ll n; cin>>n; Pre(lim=1e6);
int ans=0,lst=0;
for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1){
j=n/(n/i); int cur=S(j);
ans=(ans+1LL*(cur-lst)*(n/i))%P;
lst=cur;
}
ans=(ans+n)%P*inv2%P;
printf("%d\n",(ans+P)%P);
return 0;
}