熵、信息熵、交叉熵、相对熵、条件熵、互信息、条件熵的贝叶斯规则

熵

每条消息都含有信息。“信息熵”是“熵”的别名，用来衡量消息的不确定程度。

宽泛来讲，即消息所传达的信息的模糊程度，消息越模糊，其熵越高。

形象的说，熵是从 根据模糊消息—>得到精确信息 所需要花费的最小代价。

熵=信息量(的期望)=不确定性的多少。熵值是信息量的一个度量。

某种意义上说，熵就是最优策略。

《数学之美》中这样描述：

变量的不确定性越高，熵也就越大，要把它搞清楚，所需要的信息量也就越高。

维基百科中对“熵”的定义：

在信息论中，熵是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵、平均自信息量。这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征。（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大。）来自信源的另一个特征是样本的概率分布。这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息。由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的。事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）。熵的单位通常为比特，但也用Sh、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底。

给定一个样本集X，得到两个概率分布P(x)和Q(x)。其中P(x)是该样本集的真实概率分布，Q(x)是我猜测的概率分布。利用真实分布P来衡量识别一个样本所需要的平均编码长度，亦即X 的熵为：

H(p)=H(X)=∑xP(x)∗1log2P(x)=−∑xP(x)∗log2P(x)

这里对数log的底为2，是因为计算样本的平均编码长度中，编码为2进制；这也是为什么信息论中用“比特bit”来度量熵值（0000 0111这样一个字节是 8 bits）。

比如，在 “总决赛后，猜测32支实力相当的球队谁是冠军” 问题中，采用2分法，只需要问5次就可得知冠军是谁，即log232=5，知底数为2，信息量（熵）与对数函数log有关。

但如果32支球队实力有强有弱，则第一次猜测时可不用将32支球队等分成2组，可将实力强劲的几支队伍分到一组，如此一来也许猜测3~4次就可得知冠军是谁。因此，当夺冠概率不等时，“谁是冠军”的信息量(熵)小于5。事实上，准确信息量应为：

H=p1∗1log2p1+p2∗1log2p2+...+p32∗1log2p32

其中p1、p2、p32是32支球队夺冠的概率。

交叉熵

如果用猜测的概率分布Q来衡量识别来自实际的概率分布P的每个样本所需要的平均编码长度，则应该是：

H(p,q)=∑xP(x)∗1log2Q(x)=−∑xP(x)∗log2Q(x)

这里H(p,q)即为“交叉熵”。因为样本来自P，所以H(p,q)的概率为P(x)，猜测的概率分布为Q(x)，最终得上式。“交叉熵”即指用错误的概率分布Q去估计样本的真实分布P后得到的值。

例如，给定一个集合(A, B, C, D) ，真实的概率分别是(0.5, 0.5, 0, 0)，其熵为：

H=−(12∗log212+12∗log212+0+0)=1

即用1位编码即可表示这个集合 (例如编码为0表示A，编码为1表示B；C和D出现概率为0，不为其赋予编码）。

对集合(A, B, C, D) 出现的概率，如果猜测的概率分布为(0.25, 0.25, 0.25, 0.25)， 则交叉熵为：

H′=−(14∗log214+14∗log214+14∗log214+14∗log214)=2

即用两位编码才可表示这个集合（例如编码为00表示A，编码为01表示B，编码为10表示C，编码为11表示D）。

可以证明，H(p)≤H(p,q),当且仅当p==q时等号成立。

交叉熵可在神经网络(机器学习)中作为损失函数，P表示真实的概率分布，Q为训练后模型的预测概率分布，交叉熵损失函数可以衡量P与Q的相似性。

交叉熵代价函数

简单来说，“交叉熵代价函数”是替代“均方误差代价函数”的存在。“均方误差代价函数”的缺点是在某些情况下(下文会介绍什么情况下)，学习速率很慢。为了搞清问题的来源，我们来考虑一下神经元的学习方式：通过计算代价函数的偏导 ∂C∂w和∂C∂b 来改变权重和偏置。那么我们说「学习速度很慢」其实上是在说偏导很小。那么问题就转换为理解为何偏导很小。为了解释这个问题，我们先来计算一下偏导。均方代价函数的形式如下：

C=(y−a)22

这里y是期待的输出，a是神经元的输出。应知，这里a=σ(z)=σ(wx+b)。则C对w和b的偏导分别是：

∂C∂w=(a−y)σ(z)′x

∂C∂b=(a−y)σ(z)′

注意到C对w和b的偏导均和σ(z)′相关。神经网络的激活函数sigmoid 函数σ(z)=11+e−x的曲线如下：



当神经元输出（右端）接近1时，曲线变得非常平缓，σ(z)′变得非常小。这就是学习速率变慢的根源。事实上，当神经网络使用sigmoid激活函数的前提下使用均方代价函数时都会有这个问题。

如何来避免这种减速呢？可以用不同的代价函数比如交叉熵（cross-entropy）代价函数来替代平方代价函数。为了理解交叉熵，我们假设要训练一个拥有多个输入变量的神经元：输入 x1,x2,…，权重w1,w2,…，偏置b :



神经元的输出为 a=σ(z)，这里z=∑jwjxj+b。假定y的输出为0或1。我们定义这个神经元的交叉熵代价函数为：

C=−1n∑x[y∗lna+(1−y)∗ln(1−a)]

这里y∗lna就是一个交叉熵。计算交叉熵代价函数对权重和偏置的倒数，最终可得：

∂C∂wj=1n∑x(σ(z)−y)xj

∂C∂b=1n∑x(σ(z)−y)

它告诉我们权重的学习速率可以被 σ(z)−y 控制，也就是被输出结果的误差所控制。误差越大我们的神经元学习速率越大。这正是我们直觉上所期待的那样。另外它能避免学习减速，这是 σ(z)′ 一项导致的。当我们使用交叉熵时， σ(z)′这一项会被抵消掉，因此我们不必担心它会变小。详细过程在此。

相对熵

英文名为Relative Entropy, 或Kullback-Leibler Divergence（KL散度）。目的是为了衡量两个函数或者概率分布的差异性。其公式为：

KL(f(x)||g(x))=∑xf(x)∗logf(x)g(x)

也许上面的公式不好理解，那相对熵的另一种写法是：相对熵=交叉熵-熵：

KL(f(x)||g(x))=H(p,q)−H(p)=∑xP(x)∗1logQ(x)−∑xP(x)∗1logP(x)=∑xP(x)∗logP(x)−∑xP(x)∗logQ(x)=∑xP(x)∗logP(x)Q(x)

相对熵一定大于等于0。可以这样理解相对熵：一个估计的概率分布与实际的概率分布的差距。当相对熵正趋向于0时，可以认为估计的概率分布就是实际的概率分布。

《数学之美》给出了相对熵的三个结论：

对于两个完全相同的函数，它们的相对熵等于零。

相对熵越大，两个函数差异越大；反之，相对熵越小，两个函数差异越小。

对于概率分布或者概率密度函数，如果取值均大于零，相对熵可以度量两个随机分布的差异性。

条件熵

维基百科：

条件熵描述了在已知第二个随机变量 X的值的前提下，随机变量 Y的信息熵还有多少。同其它的信息熵一样，条件熵也用Sh、nat、Hart等信息单位表示。基于X条件的Y的信息熵，用 H(Y|X)表示。

对于两个随机变量X和Y, 假定已知Y的随机分布P(Y)，则就知道了Y的熵：

H(Y)=−∑yP(y)logP(y)

即Y的不确定性就这么大。若我们还知道X和Y一起出现的联合概率分布P(x,y)

和条件概率分布P(y|x)，则可定义在X条件下Y的条件熵为：

H(Y|X)=−∑x,yP(x,y)logP(y|x)

根据下一节介绍的非负互信息I(X;Y)=H(X)−H(Y|X), 知H(X)≥H(Y|X)。即多了X的信息之后，关于Y的不确定性变小了。在统计语言模型中，如果把X看成Y前一个字，在数学上可以证明二元模型的不确定性小于一元模型。

互信息

两个随机事件X和Y, 它们的互信息定义如下：

I(X;Y)=∑x,yP(x,y)logP(x,y)P(x)P(y)

互信息与条件熵和熵之间有这样的关系：

I(X;Y)=H(X)−H(X|Y)

证明如下图，来自维基百科：



互信息就是两个事件X和Y相关性的量化度量。就是了解其中一个Y前提下，对消除另一个X的不确定性提供的信息量。互信息取值为[0,min(H(X),H(Y)]。当X和Y完全相关时，H(X)=H(Y)，完全无关时，互信息等于0。

条件熵的贝叶斯规则

H(Y|X)=H(X|Y)−H(X)+H(Y)

证明. H(Y|X)=H(X,Y)−H(X) 和 H(X|Y)=H(Y,X)−H(Y)。对称性意味着 H(X,Y)=H(Y,X)。将两式相减即为贝叶斯规则。

参考文章：

《数学之美》第六章

https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s1.html

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E7%86%B5

https://www.zhihu.com/question/41252833