同余式和裴蜀定理

同余式

定义

如果m整除a-b，我们就说a与b模m同余并记之为

a≡b (mod m)

裴蜀定理

定义

对任意两个整数 a、 b，设 d是它们的最大公约数。那么关于未知数 x和 y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

ax+by=m

有整数解(x,y) 当且仅当m 是d 的整数倍。

裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

证明

证明：

如果a 和 b 中有一个是0，比如 a=0，那么它们两个的最大公约数是 b。这时裴蜀等式变成 by=m，它有整数解(x,y) 当且仅当m 是d 的倍数，而且有解时必然有无穷多个解，因为x 可以是任何整数。定理成立。

以下设 a和 b 都不为0。

设 A={xa+yb;(x;y)∈Z2}，下面证明 A中的最小正元素是a 与 b 的最大公约数。

首先， A∩N∗ 不是空集（至少包含 |a| 和 |b|），因此由于自然数集合是良序的，A 中存在最小正元素 d0=x0a+<
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span style="position: absolute; clip: rect(1.976em 1000em 2.936em -0.477em); top: -2.557em; left: 0.003em;">y0b。考虑A中任意一个正元素p（ =x1a+y1b）对 d0的带余除法：设 p=qd0+r，其中q 为正整数， 0≤r<d0。但是

r=p−qd0=x1a+y1b−q(x0a+y0b)∈A

因此 r=0， d0 | p。也就是说，A中任意一个正元素p都是 d0的倍数，特别地： d0 | a、d0 | b。因此d0 是 a 和 b 的公约数。

另一方面，对a 和 b 的任意正公约数 d，设 a=kd、 b=ld，那么

d0=x0a+y0b=(x0k+y0l)d

因此d | d0。所以 d0 是 a 和 b 的最大公约数。

在方程 ax+by=m中，如果 m=m0d0，那么方程显然有无穷多个解：

{(m0x0+kbd, m0y0−kad)∣k∈Z}。

相反的，如果 ax+by=m有整数解，那么 |m|∈A，于是由前可知 d0 | |m|（即 d0 | m）。

m=1时，方程有解当且仅当a、b互质。方程有解时，解的集合是

{(mdx0+kbd, mdy0−kad)∣k∈Z}。其中 (x0,y0)(x0,y0)是方程 ax+by=d的一个解，可由辗转相除法得到。

所有解中，恰有二解(x,y) 满足 |x|≤|b/d|及|y|≤|a/d|，等号只会在a及b其中一个是另一个的倍数时成立。辗转相除法给出的解会是这两解中的一个。

性质

（1）裴蜀定理是拓展欧几里德的一般形式

（2）裴蜀定理可以用来求同余式