matlab矩阵及其基本运算—特征值分解和奇异值分解

特征值分解

函数 eig

eig： Find eigenvalues and eigenvectors

格式 d = eig(A)         %求矩阵A的特征值d，以向量形式存放d。

d = eig(A,B)       %A、B为方阵，求广义特征值d，以向量形式存放d。

[V,D] = eig(A)      %计算A的特征值对角阵D和特征向量V，使AV=VD成立。

[V,D] = eig(A,'nobalance')   %当矩阵A中有与截断误差数量级相差不远的值时，该指令可能更精确。'nobalance'起误差调节作用。

[V,D] = eig(A,B)    %计算广义特征值向量阵V和广义特征值阵D，满足AV=BVD。

[V,D] = eig(A,B,flag)   % 由flag指定算法计算特征值D和特征向量V，flag的可能值为：'chol' 表示对B使用Cholesky分解算法，这里A为对称Hermitian矩阵，B为正定阵。'qz' 表示使用QZ算法，这里A、B为非对称或非Hermitian矩阵。

说明 一般特征值问题是求解方程： 解的问题。广义特征值问题是求方程： 解的问题。

奇异值分解

函数 svd

格式 s = svd (X)          %返回矩阵X的奇异值向量

[U,S,V] = svd (X)   %返回一个与X同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足= U*S*V'。若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。

奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。

[U,S,V] = svd (X,0)   %得到一个“有效大小”的分解，只计算出矩阵U的前n列，矩阵S的大小为n×n。

例1-73

>> A=[1 2;3 4;5 6;7 8];

>> [U,S,V]=svd(A)

U =

   -0.1525   -0.8226   -0.3945   -0.3800

   -0.3499   -0.4214    0.2428    0.8007

   -0.5474   -0.0201    0.6979   -0.4614

   -0.7448    0.3812   -0.5462    0.0407

S =

   14.2691         0

         0    0.6268

         0         0

       0         0

V =

   -0.6414    0.7672

   -0.7672   -0.6414

>> [U,S,V]=svd(A,0)

U =

   -0.1525   -0.8226

   -0.3499   -0.4214

   -0.5474   -0.0201

   -0.7448    0.3812

S =

   14.2691         0

         0    0.6268

V =

   -0.6414    0.7672

   -0.7672 -0.6414