【NOIP 2016 day2 T1 T2】组合数问题，蚯蚓——题解

组合数问题

题目描述

组合数Cmn

​表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

Cmn=n!m!(n−m)!

其中n! = 1 × 2 × · · · × n

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0<=i<=n，0<=j<=min(i,m)有多少对 (i,j)满足Cji

是k的倍数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

输出格式：

t行，每行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例#1：

1 2

3 3

输出样例#1：

1

输入样例#2：

2 5

4 5

6 7

输出样例#2：

0

7

——————————————————————

作为day2T1题，我觉得也不是纯送分的了。

我们有组合数的递推公式，边算边取模。

然后用容斥原理做二维前缀和（自己瞎起的名字），预处理即可。

思路清晰，但是作为T1突然间不是暴力就会很蒙吧。

#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll f[2001][2001];
ll sum[2001][2001];
int main(){
int t,k;
scanf("%d%d",&t,&k);
for(int i=0;i<=2000;i++){
f[i][i]=1;
f[i][0]=1;
}
for(int i=1;i<=2000;i++){
for(int j=1;j<i;j++){
f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
f[i][j]%=k;
}
}
for(int i=1;i<=2000;i++){
for(int j=1;j<=2000;j++){
if(!f[i][j]&&j<=i){
sum[i][j]++;
}
sum[i][j]+=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
}
}
while(t--){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("%lld\n",sum
[m]);
}
return 0;
}

蚯蚓

题目描述

本题中，我们将用符号⌊c⌋表示对c向下取整，例如：⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋

蛐蛐国最近蚯蚓成灾了！隔壁跳蚤国的跳蚤也拿蚯蚓们没办法，蛐蛐国王只好去请神刀手来帮他们消灭蚯蚓。

蛐蛐国里现在共有n只蚯蚓（n为正整数)。每只蚯蚓拥有长度，我们设第i只蚯蚓的长度为

ai(i=1,2,...,n)，并保证所有的长度都是非负整数（即:可能存在长度为0的蚯蚓）。

每一秒，神刀手会在所有的蚯蚓中，准确地找到最长的那一只（如有多个则任选一个）将其切成两半。神刀手切开蚯蚓的位置由常数p(是满足0<p<1的有理数)决定，设这只蚯蚓长度为x，神刀手会将其切成两只长度分别为⌊px⌋和x−⌊px⌋的蚯蚓。特殊地，如果这两个数的其中一个等于0，则这个长度为0的蚯蚓也会被保留。此外，除了刚刚产生的两只新蚯蚓，其余蚯蚓的长度都会增加q(是一个非负整常数)。

蛐蛐国王知道这样不是长久之计，因为蚯蚓不仅会越来越多，还会越来越长。蛐蛐国王决定求助于一位有着洪荒之力的神秘人物，但是救兵还需要m秒才能到来……

(m为非负整数）

蛐蛐国王希望知道这m秒内的战况。具体来说，他希望知道：

•m秒内，每一秒被切断的蚯蚓被切断前的长度（有m个数）

•m秒后，所有蚯蚓的长度（有n+m个数)。

蛐蛐国王当然知道怎么做啦！但是他想考考你……

输入输出格式

输入格式：

第一行包含六个整数n,m,q,u,v,t，其中：n,m,q的意义见【问题描述】；u,v,t均为正整数；你需要自己计算p=u/v(保证0<u<v)t是输出参数，其含义将会在【输出格式】中解释。

第二行包含n个非负整数，为ai,a2,...,an，即初始时n只蚯蚓的长度。

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。

保证

1≤n≤105，0<m≤7∗106，0≤u<v≤109，0≤q≤200，1≤t≤71，0<ai≤108

输出格式：

第一行输出⌊m/t⌋个整数，按时间顺序，依次输出第t秒，第2t秒，第3t秒……被切断蚯蚓（在被切断前）的长度。

第二行输出⌊(n+m)/t⌋个整数，输出m秒后蚯蚓的长度；需要按从大到小的顺序，依次输出排名第t，第2t，第3t……的长度。

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。即使某一行没有任何数需要 输出，你也应输出一个空行。

请阅读样例来更好地理解这个格式。

输入输出样例

输入样例#1：

3 7 1 1 3 1

3 3 2

输出样例#1：

3 4 4 4 5 5 6

6 6 6 5 5 4 4 3 2 2

输入样例#2：

3 7 1 1 3 2

3 3 2

输出样例#2：

4 4 5

6 5 4 3 2

输入样例#3：

3 7 1 1 3 9

3 3 2

输出样例#3：

//空行

2

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做这题的时候想的是T2应该不至于很难……

wdm看了正解都不是很懂的题，特地mark一下。

c++选手福利，优先队列35分，优化后85分。

正解就是不用优先队列（logn谁用谁傻子）

通过口胡证明能够发现，我们可以将每次切好的蚯蚓，长的放一堆，短的放一堆，则他们长度是有序的。

那么我们自然就不用优先队列了，就比较原队列和长短队列的front挑一个最长的剪就行了。

但很明显我们不可以将所有的蚯蚓都减去q。

一个明显的优化就是对于切的蚯蚓-q即可。

这样要求我们拿出蚯蚓时+(t-1)*q（不加则会因精度问题产生误差），然后切完的蚯蚓每个-t*q即可。

最后我们对于每个蚯蚓+t/*q就是原长。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read(){
int X=0,w=1; char ch=0;
while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return X*w;
}
int a[100001];
queue<int>q1,q2,q3;
bool cmp(int c,int d){
return c>d;
}
int main(){
int n=read();
int m=read();
int q=read();
int u=read();
int v=read();
int t=read();
double p=(double)u/v;
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=read();
}
sort(a+1,a+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++){
q1.push(a[i]);
}
int cnt=0;
while(cnt!=m){
cnt++;
int t1=-2147483647,t2=-2147483647,t3=-2147483647;
if(!q1.empty()){
t1=q1.front();
}
if(!q2.empty()){
t2=q2.front();
}
if(!q3.empty()){
t3=q3.front();
}
t1+=(cnt-1)*q;
t2+=(cnt-1)*q;
t3+=(cnt-1)*q;
if(t1>=t2&&t1>=t3){
if(cnt%t==0){
printf("%d ",t1);
}
int f1=p*t1;
int f2=t1-f1;
f1-=cnt*q;
f2-=cnt*q;
if(f1>f2){
q2.push(f1);
q3.push(f2);
}else{
q3.push(f1);
q2.push(f2);
}
q1.pop();
}else if(t2>=t1&&t2>=t3){
if(cnt%t==0){
printf("%d ",t2);
}
int f1=p*t2;
int f2=t2-f1;
f1-=cnt*q;
f2-=cnt*q;
if(f1>f2){
q2.push(f1);
q3.push(f2);
}else{
q3.push(f1);
q2.push(f2);
}
q2.pop();
}else if(t3>=t1&&t3>=t2){
if(cnt%t==0){
printf("%d ",t3);
}
int f1=p*t3;
int f2=t3-f1;
f1-=cnt*q;
f2-=cnt*q;
if(f1>f2){
q2.push(f1);
q3.push(f2);
}else{
q3.push(f1);
q2.push(f2);
}
q3.pop();
}
}
printf("\n");
int k=0;
while(!q1.empty()||!q2.empty()||!q3.empty()){
k++;
int t1=-2147483647,t2=-2147483647,t3=-2147483647;
if(!q1.empty())t1=q1.front();
if(!q2.empty())t2=q2.front();
if(!q3.empty())t3=q3.front();
t1+=cnt*q;t2+=cnt*q;t3+=cnt*q;
if(t1>=t2&&t1>=t3){
if(k%t==0)printf("%d ",t1);q1.pop();
}else if(t2>=t3&&t2>=t1){
if(k%t==0)printf("%d ",t2);q2.pop();
}else if(t3>=t1&&t3>=t2){
if(k%t==0)printf("%d ",t3);q3.pop();
}
}
return 0;
}