【2-SAT】【优化连边】【AtCoder Regular Contest 069 F】Flag

Description

Snuke 喜欢旗子.

Snuke 正在将N 个旗子摆在一条线上.

第i 个旗子可以被放在位置xi 或yi 上.

Snuke 认为两个旗子间的最小距离越大越好. 请你求出最大值.

对于100% 的数据, 1 <= N <= 10^4，1 <= xi, yi <= 10^9.

2-SAT

模型还是比较显然的。看到双最值想到二分，转为判定性问题

我们拆点，b[i][1]表示位置i选，b[i][0]表示不选

这时边的意义就是“推出”，比如说b[xi][0]向b[yi][1]连边，因为xi不放就必然要放yi

考虑限制条件：判定是否有方案，使得选择的点间距>=lim

对于每个点x，如果它选，那么b[x][1]就要向所有的dis(x,y)< lim 的b[y][0]连边，因为一旦选择了x，就不能选与它间距< lim的点

然而这样最坏情况下，边数是O(n2)的，我们需要优化连边

考虑到连边总是向一个去心领域内连，我们有对应的优化方法

分块优化连边

自己yy吧，很简单。这样会多出O(n0.5)个中转点

线段树优化连边

用线段树上的结点结构来优化，父节点向子节点连边。这样会多出O(n)个中转点

进行完连边优化之后，边数变成O(n1.5)或O(nlogn)的

接着要求解2-SAT

2-SAT问题一般有两个解决方法

有向图的Tarjan算法

对构出的图跑Tarjan，对于任意x判定b[x][0]，b[x][1]是否在同一连通块。若是则有矛盾。

不太清楚这种方法如何构造一组可行解。

构造一组可行解

17.12.27 UPD：可以构造可行解，但是只能保证是任意一种。

tarjan算法跑完之后，将SCC缩起来，将图连反边之后跑拓扑序（其实相当于跑拓扑逆序），每遇到一个未被染色的点就染成选，并将其对立点（预处理）染成不选。

例题：https://jzoj.net/senior/#main/show/4350

while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
if(!col[u]) col[u]=1,col[inv[u]]=2;
efo(i,u,v)
if(!--in[v]) q.push(v);
}

dfs染色 UPD:大暴力

对于当前遇到的每个未染色的点，尝试染b[x][0]，如果不可行再染b[x][1]

一个点开始的dfs染色会把它所在的SCC的所有点的0/1确定下来

这样可以通过最后每个点的颜色来构造可行解

可是，我们线段树优化连边时新建了O(n)个点，如果很多个点都dfs重新染色，可能会重复经过这O(n)个点多次。这个复杂度我不太会算，但是这种方法实测很快，在Atcoder上交也过了（虽然说跑得挺慢）

17.12.27 UPD：

dfs染色过程算法本身就是O(nm)的，是2-SAT问题的暴力解法。用处大概是构造字典序最小解。

Code

分块优化连边+dfs染色

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,b,a) for(int i=b;i>=a;i--)
#define efo(i,v,u) for(int i=last[v],u=to[last[v]];i;i=nxt[i],u=to[i])
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define mset(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
void read(int &n)
{
int t=0,p=1;char ch;
for(ch=getchar();!('0'<=ch && ch<='9');ch=getchar())
if(ch=='-') p=-1;
for(;'0'<=ch && ch<='9';ch=getchar()) t=t*10+ch-'0';
n=t*p;
}
const int N=4e5+5,M=50000005;
int n,nn,rtn,tot,ext,b
[2];
struct node
{
int x,id;
}a
;
bool cmp(node a,node b){return a.x<b.x;}
int m,co
,to[M],nxt[M],last
,list
,L
,R
;
void link(int u,int v)
{
to[++m]=v,nxt[m]=last[u],last[u]=m;
}
bool dfs(int v)
{
if(v<=tot && co[v^1]) return 0;
if(v<=tot && co[v]) return 1;
co[v]=1;
list[++list[0]]=v;
efo(i,v,u) if(!co[u])
if(!dfs(u)) return 0;
return 1;
}
bool check(int lim)
{
m=0;mset(last,0);
fo(i,1,n)
{
link(b[i+i-1][0],b[i+i][1]),link(b[i+i][1],b[i+i-1][0]);
link(b[i+i-1][1],b[i+i][0]),link(b[i+i][0],b[i+i-1][1]);
}
fo(i,1,rtn)
fo(j,L[i],R[i]) link(tot+i,b[a[j].id][0]);
int l=1,r=1;
fo(i,1,nn)
{
while(l<nn && a[i].x-a[l].x>=lim) ++l;
while(r<nn && a[r+1].x-a[i].x<lim) ++r;
int ql=min(rtn,(l-1)/rtn+1),qr=min(rtn,(r-1)/rtn+1),qi=min(rtn,(i-1)/rtn+1);
if(ql==qr)
{
fo(j,l,r)
if(j!=i) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);
}
else
{
if(ql==qi)
fo(j,l,i-1) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);
else
{
fo(j,l,R[ql]) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);
fo(j,ql+1,qi-1) link(b[a[i].id][1],tot+j);
fo(j,L[qi],i-1) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);
}
if(qi==qr)
fo(j,i+1,r) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);
else
{
fo(j,i+1,R[qi]) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);
fo(j,qi+1,qr-1) link(b[a[i].id][1],tot+j);
fo(j,L[qr],r) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);
}
}
}
mset(co,0);
fo(i,1,tot)
{
int x=i+i-1;
if(!co[b[x][0]] && !co[b[x][1]])
{
list[0]=0;
if(!dfs(b[x][0]))
{
fo(j,1,list[0]) co[list[j]]=0;
list[0]=0;
if(!dfs(b[x][1])) return 0;
}
}
}
return 1;
}
int main()
{
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("a.out","w",stdout);
int x,y;
read(n);nn=n+n;
fo(i,1,n) read(a[i+i-1].x),read(a[i+i].x);
tot=1;
fo(i,1,nn) a[i].id=i,b[i][0]=++tot,b[i][1]=++tot;
rtn=sqrt(nn);
fo(i,1,rtn-1) L[i]=1+rtn*(i-1),R[i]=rtn*i;
L[rtn]=1+rtn*(rtn-1),R[rtn]=nn;
sort(a+1,a+nn+1,cmp);
int l=0,r=a[nn].x+1;
while(l<r-1)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)) l=mid;
else r=mid;
}
printf("%d\n",l);
return 0;
}

线段树优化连边+tarjan判可行

#include<stack>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,b,a) for(int i=b;i>=a;i--)
#define efo(i,v,u) for(int i=last[v],u=to[last[v]];i;i=nxt[i],u=to[i])
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define mset(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
void read(int &n)
{
int t=0,p=1;char ch;
for(ch=getchar();!('0'<=ch && ch<='9');ch=getchar())
if(ch=='-') p=-1;
for(;'0'<=ch && ch<='9';ch=getchar()) t=t*10+ch-'0';
n=t*p;
}
const int N=4e5+5,M=1e7+5;
int n,nn,vtot,tot,root,b
[2];
struct node
{
int x,id;
}a
;
bool cmp(node a,node b){return a.x<b.x;}
int m,co
,to[M],nxt[M],last
,ls
,rs
;
void link(int u,int v)
{
to[++m]=v,nxt[m]=last[u],last[u]=m;
}
void build(int &v,int l,int r)
{
if(l==r)
{
v=b[a[l].id][0];
return;
}
v=++tot;
int mid=l+r>>1;
build(ls[v],l,mid);build(rs[v],mid+1,r);
link(v,ls[v]);link(v,rs[v]);
}
void add(int v,int l,int r,int x,int y,int p)
{
if(x>y || l>r) return;
if(l==x && r==y)
{
link(p,v);
return;
}
int mid=l+r>>1;
if(y<=mid) add(ls[v],l,mid,x,y,p);
else
if(x>mid) add(rs[v],mid+1,r,x,y,p);
else add(ls[v],l,mid,x,mid,p),add(rs[v],mid+1,r,mid+1,y,p);
}
int now,top,num,low
,dfn
,scc
,sta
;
bool bz
,vis
;
void tarjan(int v)
{
low[v]=dfn[v]=++now;
bz[v]=vis[v]=1;
sta[++top]=v;
efo(i,v,u)
if(!vis[u])
{
tarjan(u);
low[v]=min(low[v],low[u]);
}
else
if(bz[u]) low[v]=min(low[v],dfn[u]);
if(low[v]==dfn[v])
{
sta[top+1]=0;++num;
for(;sta[top+1]!=v;top--) bz[sta[top]]=0,scc[sta[top]]=num;
}
}
bool check(int lim)
{
m=0;mset(last,0);
fo(i,1,n)
{
link(b[i+i-1][0],b[i+i][1]),link(b[i+i][1],b[i+i-1][0]);
link(b[i+i-1][1],b[i+i][0]),link(b[i+i][0],b[i+i-1][1]);
}
tot=vtot;
build(root,1,nn);
int l=1,r=1;
fo(i,1,nn)
{
while(l<nn && a[i].x-a[l].x>=lim) ++l;
while(r<nn && a[r+1].x-a[i].x<lim) ++r;
add(root,1,nn,l,i-1,b[a[i].id][1]);
add(root,1,nn,i+1,r,b[a[i].id][1]);
}
now=top=num=0;mset(bz,0);mset(vis,0);mset(scc,0);
fo(i,1,vtot)
if(!vis[i]) tarjan(i);
fo(i,1,nn)
if(scc[b[i][0]]==scc[b[i][1]]) return 0;
return 1;
}
int main()
{
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("a.out","w",stdout);
int x,y;
read(n);nn=n+n;
fo(i,1,n) read(a[i+i-1].x),read(a[i+i].x);
vtot=1;
fo(i,1,nn) a[i].id=i,b[i][0]=++vtot,b[i][1]=++vtot;
sort(a+1,a+nn+1,cmp);
int l=0,r=a[nn].x+1;
while(l<r-1)
{
int mid=l+r>>1;
if(check(mid)) l=mid;
else r=mid;
}
printf("%d\n",l);
return 0;
}