AtCoder Regular Contest 085 F NRE 线段树优化dp

题意

有长度为n初始全为0的数组A和仅由0和1组成的数组B。现在给出m个区间，每次可以选择某个区间[l,r]，使得A数组下标在[l,r]之间的元素变为1。问A和B最小不同位置数量是多少。

n,m<=200000

分析

比赛的时候看成是区间取反，就以为这是道不可做题。

这题的题解用了比较巧妙的转化方式。把(ai,bi)看成是一个数对，那么答案其实就是(1,0)和(0,1)的数量，也就相当于(0,1)+(@,0)-(0,0)的最小值，其中@表示可以取任意值。注意到(@,0)的数量是固定的，那么要求的实际就是(0,1)-(0,0)的最小值，也就是说，1的没有贡献的。

然后就可以大力dp了。

设f[i,j]表示前i个数已经确定，且当前的最后一个1在位置j时的最小代价。

我们可以枚举以i为起点的区间，设为[i,r]

那么有f[i,r]=min(f[i-1,k]+w[k+1,i-1])。其中若l>r则w[l,r]=0，反之则w[l,r]为b[l,r]中1的数量-0的数量。

用线段树优化即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;

const int N=200005;
const int inf=1000000000;

int n,m,s1
,s0
;
struct tree{int mn,tag;}t[N*5];
vector<int> vec
;
pair<int,int> a
;

int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}

void pushdown(int d,int l,int r)
{
if (!t[d].tag||l==r) return;
int w=t[d].tag;t[d].tag=0;
t[d*2].tag+=w;t[d*2+1].tag+=w;
t[d*2].mn+=w;t[d*2+1].mn+=w;
}

void ins(int d,int l,int r,int x,int y)
{
pushdown(d,l,r);
if (l==r) {t[d].mn=min(t[d].mn,y);return;}
int mid=(l+r)/2;
if (x<=mid) ins(d*2,l,mid,x,y);
else ins(d*2+1,mid+1,r,x,y);
t[d].mn=min(t[d*2].mn,t[d*2+1].mn);
}

void modify(int d,int l,int r,int x,int y,int z)
{
if (x>y) return;
pushdown(d,l,r);
if (l==x&&r==y) {t[d].tag+=z;t[d].mn+=z;return;}
int mid=(l+r)/2;
modify(d*2,l,mid,x,min(y,mid),z);
modify(d*2+1,mid+1,r,max(x,mid+1),y,z);
t[d].mn=min(t[d*2].mn,t[d*2+1].mn);
}

int query(int d,int l,int r,int x,int y)
{
if (x>y) return inf;
pushdown(d,l,r);
if (l==x&&r==y) return t[d].mn;
int mid=(l+r)/2;
return min(query(d*2,l,mid,x,min(y,mid)),query(d*2+1,mid+1,r,max(x,mid+1),y));
}

int main()
{
n=read();
for (int i=1;i<=n;i++)
{
s0[i]=s0[i-1];s1[i]=s1[i-1];
int x=read();
if (!x) s0[i]++;
else s1[i]++;
}
m=read();
for (int i=1;i<=m;i++) a[i].first=read(),a[i].second=read();
sort(a+1,a+m+1);
for (int i=1;i<=m;i++) vec[a[i].first].push_back(a[i].second);
for (int i=1;i<=n*4+4;i++) t[i].mn=inf;
ins(1,0,n,0,0);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
for (int j=0;j<vec[i].size();j++) ins(1,0,n,vec[i][j],query(1,0,n,0,vec[i][j]));
if (s1[i]-s1[i-1]) modify(1,0,n,0,i-1,1);
else modify(1,0,n,0,i-1,-1);
}
printf("%d",query(1,0,n,0,n)+s0
);
return 0;
}