338. Counting Bits(DP)

1.Description

Given a non negative integer number num. For every numbers i in the range 0 ≤ i ≤ num calculate the number of 1’s in their binary representation and return them as an array.

Example:

For num = 5 you should return [0,1,1,2,1,2].

Follow up:

It is very easy to come up with a solution with run time O(n*sizeof(integer)). But can you do it in linear time O(n) /possibly in a single pass?
Space complexity should be O(n).
Can you do it like a boss? Do it without using any builtin function like __builtin_popcount in c++ or in any other language.

2. analysis

这道题其实只要发现二进制数之间的关系，就很容易写出来。我们发现区间[2k,2(k+1)−1] 之间的数 ai 和 ai+1 之间的关系，它们之间的逻辑与的结果是得到相同的高位部分（因为相邻的两个二进制数的最低位不可能相同），如：0110&0111=0110 和0100&0101=0100 和 0101&0110=0100 ，可以看到，ai+1的1的个数要么比 ai 的个数多一个，要么没有，不可能多2个或以上（为什么？so easy)。如果1的个数是相等的，那么ai+1 和 ai 的二进制数的1的个数是基于同一个数(ai可能基于ai−1)递增的，而ai−1 a_能基于 ai−2 如此迭代。而逻辑与的结果是找到离ai 和 ai+1 最近的一个这样的基数，可能是 ai 可能是ai−1 或者 该区间的第一个数，也就是2k。如果ai+1 比 ai 的二进制表示多一个1，那么这个基数就是ai。所以得到状态转移方程是 f(n)=f[n&(n−1)]+1

3. code

class Solution {
public:
vector<int> countBits(int num) {
// index represents the number
vector<int> res(num+1,0);
for(int i = 1;i <= num; i++) {
res[i] = res[i&(i-1)] + 1;
}
return res;
}
};