LightOJ - 1236 Pairs Forming LCM

题目链接：https://vjudge.net/contest/70017#problem/H

题意：给出n，求满足(a,b)，a<=b，且a和b的最小公倍数为n的数对的组数。

分析：一开始想到了算数基本定理，但是不知道如何下手，后来看了题解才知道算数基本定理可以用来求最小公倍数和最大公约数，看来对算数基本定理理解不深入。由算数基本定理可知，n=p1^a1*p2^a2...*pn^an；令a=p1^b1*p2^b2...*pn^bn，b=p1^c1*p2^c2...pn^cn；如果要使a和b的最小公倍数为n，则max(b1,c1)=a1，max(b2,c2)=a2，max(b3,c3)=a3...max(bn,cn)=an。即n是由所有ai素因子的bi次幂的乘积组成，两个数的lcm为n那么这两个数对于每一个素因子ai都一定有至少在其中一个数中包含全部ai的bi次幂，并且两个数都不超过bi次幂也不包含其他素因子，如此才能保证相乘之后消去共同素因子还能剩下n的素因子。

由排列组合的知识可知对于每一个pi来说：



1. 在a中的指数 ai == ei，那么 pi 在 b 中的指数可取 [0, ei] 中的所有数  有 ei + 1 种情况

2. 在a中的指数 ai < ei，即 ai 在 [0, ei) 中   那么 pi 在 b 中的指数只能取 ei  有 ei 种情况

那么对与每个素因子都有 2*ei + 1种情况，也就是满足条件的(a, b)有π(2*ei + 1)个，考虑除了(n,
n)所有的情况都出现了两次，那么满足a<=b的有(π(2*ei
+ 1))/2+1个。（乘法原则）
代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1e7 + 5;
bool flag[maxn];
long long prime[maxn/10];
int cnt;

void getPrime(){
///memset(flag,0,sizeof(flag));
for(int i=2;i*i<=maxn;i++)
if(!flag[i])
for(int j=i*i;j<=maxn;j+=i)
flag[j]=1;
for(int i=2;i<maxn;i++)
if(!flag[i]) prime[cnt++]=i;
}

int main(){
getPrime();
int t,cas=1;
long long n,tmp,s;
cin>>t;
while(t--){
cin>>n;
tmp=n;
s=1;
for(int i=0;i<cnt&&prime[i]*prime[i]<=tmp;i++){
int a=0;
while(tmp%prime[i]==0){
tmp/=prime[i];
a++;
}
s*=2*a+1;
}
if(tmp>1) s*=3;
s=s/2+1;
cout<<"Case "<<cas++<<": "<<s<<endl;
}
}