LightOJ 1236 Pairs Forming LCM

题意：

求小于n的数中lcm(i,j)==n的所有(i,j)数对有多少组。

思路：

唯一分解定理，真的不好想。

首先由唯一分解定理n是由所有ai素因子的bi次幂的乘积组成，两个数的lcm为n那么这两个数对于每一个素因子ai都一定有至少在其中一个数中包含全部ai的bi次幂，并且两个数都不超过bi次幂也不包含其他素因子，如此才能保证相乘之后消去共同素因子还能剩下n的素因子。

然后求解总数，对于每个ai都有当第一个数包含全部的bi个ai时第二个数可以包含0~bi个，同理当第二个数包含bi个时第一个数可以包含0~bi个，sum*=(2*(bi+1))这样两个数都包含bi个ai的情况就算了两次，所以应该是sum*=(2*bi+1);然后因为上限为1e14必然打表素数只能打到1e7也就是可以扫到sqrt(n)的位置，之后可能还有一个大素数因子，但是因为大于sqrt(n)所以必然只可能有一个，只要唯一分解定理判断完之后如果未除到1的话再算一个bi=1的情况就行了。然后因为是求数对数，所以要除以二。

代码：

#define N 11234567

long long n,m;
long long flag,sum,ave,ans,res,len,ans1,ans2;
bool mark
;
int pri[N/10],cnt;
void SP()
{
cnt=0;
memset(mark,true,sizeof(mark));
mark[0]=mark[1]=false;
for(int i=2;i<N;i++)
{
if(mark[i])
pri[cnt++]=i;
for (int j=0;(j<cnt)&&(i*pri[j]<N);j++)
{
mark[i*pri[j]]=false;
if (i%pri[j]==0)
break;
}
}
}
long long getFactor(long long x)
{
long long sum=1;
for(int i=0;i<cnt&&pri[i]*pri[i]<=x;i++)
{
long long res=0;
while(x%pri[i]==0&&x)x/=pri[i],res++;
sum*=(2*res+1);
}
if(x>1)sum*=3;
sum/=2;sum++;
return sum;
}
int main()
{
int i,j,k,kk,t,x,y,z;
SP();
scanf("%d",&k);
kk=0;
while(k--)
{
scanf("%lld",&n);
printf("Case %d: %lld\n",++kk,getFactor(n));
}
return 0;
}