中国剩余定理（孙子定理）

中国剩余定理（孙子定理）

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问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

解法：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置二十三，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。

说明白一点就是说，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。

定理1：几个数相加，如果只有一个加数，不能被数a整除，而其他加数均能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

定理2：二数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。

这两个定理浅显易懂就不再赘述了。

先给出求解该问题的具体步骤：

（1）求出最小公倍数

lcm=3*5*7=105

（2）求各个数所对应的基础数

（1）105÷3=35

35÷3=11......2 //基础数35

（2）105÷5=21

21÷5=4......1

定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数63

（3）105÷7=15

15÷7=2......1

定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30

（3）把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数）

35+63+30=128

（4）减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下）

x=128-105=23

那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。

（1）最小公倍数就不用解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况）

（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，比如第一个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数。相当于找到了最小的开始值，用它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。提现的还不够明显，在看下一个5对应基础数。21是其他数的最小公倍数，但是不能被5整除，用21除以5得到的余数是1，而要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩大，就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征，可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理，我们得到了第三个基础数23，那么他的特征就是：可以被其他数整除，但是不能被7整除，并且余数为2。

（3）第三步基础数加和，为什么要这样做呢？利用就是上面提到的定理1。

35+63+30=128。对于3来说，可以把63+30的和看作一个整体，应该他们都可以被3整除。看着上面写出的三个数的特征，运用定理1来说，就是在35的基础上加上一个可以被3整除的倍数，那么得到的结果依然还是满足原先的性质的，就是128除以同样还是余2的。同理，对于5还说，这个数被除之后会剩余3；对于7来说，被除之后剩余2。所以说，我们当前得到的这个数是满足题目要求的一个数。但是这个数是不是最小的，那就不一定了。

（4）应该不能确定是不是最小的数，这个时候就要用到他们的最小公倍数了。最小公倍数顾名思义，一定是一个同时被几个数整除的最小的一个数，所以减去它剩余下来的余数还是符合题意要求的。当然也同样可以运用定理1来解释，只不过是加法变成了减法，道理还是一样的。当然具体要不要剪还是要看和lcm的大小关系的。

稍微的总结一下：就是已知m1,m2,m3是两两互质的正整数，求最小的正整数x，使它被m1,m2,m3除所得的余数分别是c1,c2,c3。孙子定理的思想便是线分别求出被其中数mi整除余1而被两外两个数整除的数Mi(i=1,2,3)，则所求数之一的便是c1M1+c2M2+c3M3。由此我们可以得到n个两两互质数的情况。证明上面已经一步一步给出。

那么，到此为止基本的中国剩余定理的内容我们以及了解了，包括解答方法。那么如何编码呢？按照上面这个思路去编码，其实并不难。一共分为四大步。但是，大多数人的困惑在于如何求取基础数。这里呢，提供两种方法：

（1）第一种就是一直递增，直到找到。例如：3的基础数，35是其他数的最小公倍数。那么就从35开始，一直自增，知道余数为2，便停止（利用while循环）。

（2）第二种方法呢就是辗转相除法上得来的。这里的例子体现的不够明显，应当看看去求取乘法逆元的过程，下面讲的内容和乘法逆元有很大的关系，所以还是看看的好。简单举个例子：

假设现在三个数分别是14，3，5，它们两两互质，且要求的数除以5余3。求5对应的基础数。有：

42÷5=8......2

5÷2=2......1

所以1=5-2*2=5-2*（42-8*5）=-2*42+17*5

那么-2*42=-84  17*5=85  -84+85=1

把1扩大3倍变成3，则有-84*3=-252也就是5对应的基础数。

第一点： 基础数可以是负数，这个之前点到过。//并且下面的解法就是有这样的。

第二点： 当得到余数为1的时候后面的算式相当于是一个回溯的过程，最后解到-2*42。 
     但是还只不过是余数是1的情况对应的数，再运用定理2我们就得到了-252这个基础数。实际上要是看过乘法逆元，这里实际就是乘法逆元的求解过程，而-2 
     也就是乘法逆元。

这两种方法呢，也已经说完了。其中第一种方法的比较好实现，但是肯定没有第二种效率高。第二种运用了递归的过程。但是问题来了，我们见到的模板是这样写的吗？当然不是啦。我们见到的模板都是这个样子滴：

ll china(ll n, ll *a,ll *m) {
ll M=1,y,x=0,d;
for(ll i = 1; i <= n; i++) M *= m[i];
for(ll i = 1; i <= n; i++) {
ll w = M /m[i];
exgcd(m[i], w, d, y);//m[i]*d+w*y=1
x = (x + y*w*a[i]) % M;
}
return (x+M)%M;
} 
     现在呢已经开始犯迷糊了，这个和前面讲的有一毛钱的关系吗？嗯，还是有一毛钱的关系，和我刚刚说的第二种方法是有关系的。如果你要问有什么关系？还请先把基础知识看一看你就明白的很快了。

（1）数论--简述同余关系及其部分性质

（2）扩展欧几里得算法

一定要看，一定要看，一定要看。重要的事情说三遍。o(^▽^)o

       相信你已经看过了，具备了部分的基础知识，不然要解释，臣妾做不到啊。其实看过之后相信你在看这个模板，估计已经理解的差不多了。上面的函数是扩展欧几里得算法，下面就是中国剩余定理，并且调用了扩展欧几里得算法。扩展欧几里得算法是用来求解乘法逆元的，相当于就是前面举得那个例子，-2就是42模5的乘法逆元。并且，对于求解乘法逆元的话，返回值（也就是最大公约数GCD）一定是1，因为传进去的两个数是互质的。这样的话，与孙子的想法不谋而合，他也是先求解最后余数为1的式子，得到一个数。而这个数就是这里模板Chinese_Remainder函数里面的y*m，仔细看一看。不明白的话看我在第二种求解方法里面举得例子：-2*42=-84。这里的-2就是y，而y就是乘法逆元，42就是除了不能被5整除之外的其他数的最小公倍数。这下，你明白有什么关系了吗？对于扩展欧几里得算法的解释去看上面的第二道传送门的链接就可以。终于快要解释完了，哈哈。最后还需要三点注意一下：

       （1）如果你用过这个模板去求解文章开篇的问题，注意对于求解3对应的基础数的值是-70。它真的是吗？答案是是的，不用怀疑。按照C++的习惯来说：

-70÷3=(-23)*3......-1。

你会说这余数不是-1吗？不是2啊。但是还有另外一种算法：

-70÷3=(-24)*3......2

着一种算法也是正确的，所以说，不用怀疑，大胆地用吧，-70就是3对应的基础数。

       （2）我们能够针对每一个mi都能够求出来一个Mi，但是注意基础数可以是负数呀。同时我们看到Chinese_Remainder函数的语句ret=(ret+y*m*a[i])%n;负数取余难道不会受影响吗？答案是不会的。对于负数取余，不同的语言有不同的标准，举个简单例子：-7%3。在C++语言里面，答案是-1，Java语言里面也是-1，但是在Python里面就是2了。但不管是-1还是2都是对了，聪明的模板解决了这个问题。(n+ret%n)%n;这是return语句。加了n之后再取余，得到的就是最小的正余数了，真是机智。同样你要是觉得不够保险，可以把上面的语句改成ret=(ret+n+y*m*a[i])%n;这样足够保险了。同样，在其他题目里面凡是遇到取余德操作都需要去这样做，就可以消除因为编译器不同带来的烦恼了。

       （3）最后逆元取用的是y值，而不是x的值，这是因为在回调过程的最后一个过程中，相当于除数和被除数互换，自然x和y的值也就需要互换了。