中国剩余定理(孙子定理)

给出一元线性同余方程组:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x≡a1x≡a2⋮x≡anmod m1mod m2mod mn

其中m1,m2,⋯,mn两两互质。

根据中国剩余定理,则方程组一定有解。

设M=m1m2⋯mn,Mi=Mmi

则方程在模M意义下的唯一解为:

x=a1M1M−11+a2M2M−12+⋯+anMnM−1n(mod M)

其中M−1i为Mi模mi意义下的数论倒数，即逆元

简略证明(不严谨)如下:

MiM−1i≡1 mod mi

aiMiM−1i≡ai mod mi

aiMiM−1i≡0 mod mj(j!=i)

∴x满足方程

在这里只证明它的正确性，而略去了它的唯一性。

我会在以后补上。