51nod 1033 骨牌覆盖 V2（矩阵快速幂）

骨牌覆盖 V2

思路：

这类题主要的难点就在于状态的转移，可以先看看这道题（骨牌覆盖问题·三）中的提示

dp[i][j]表示从状态i转换成状态j共有多少种方法（二进制下的01表示骨牌是否覆盖）

则m行的排法就是dp^(m+1)的值（第0行的状态为0，第m行的状态为((1＜＜n)-1，则需进行m+1次dp=dp*dp)

因此，我们可以先用dfs处理出状态转移的可行性，然后矩阵快速幂即可

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn=1<<5;
const LL mod=1e9+7;
int n,m,N,dp[maxn][maxn];

struct Matrix
{
LL mat[maxn][maxn];
} res,arr;

void dfs(int col,int pre,int now)
{
if(col==n)
{
dp[pre][now]=1;//dp[pre][now]=1，表示能从pre状态转换到now状态
return ;
}
dfs(col+1,pre<<1,now<<1|1);//竖放，第col+1列由空变为放骨牌
dfs(col+1,pre<<1|1,now<<1);//不放，第col+1列由放骨牌变为空
if(col+2<=n)//横放，col+1和col+2列均放骨牌
dfs(col+2,pre<<2|3,now<<2|3);
}

Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
{
Matrix tmp;
for(int i=0; i<N; ++i)
for(int j=0; j<N; ++j)
{
tmp.mat[i][j]=0;
for(int k=0; k<N; ++k)
tmp.mat[i][j]=(tmp.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod;
}
return tmp;
}

LL pow_matrix(Matrix a)
{
for(int i=0; i<N; ++i)
arr.mat[i][i]=1;
while(m)
{
if(m&1)
arr=mul(arr,a);
a=mul(a,a);
m>>=1;
}
return arr.mat[0][N-1];
}

int main()
{
scanf("%d%d",&m,&n);
++m;
N=1<<n;
dfs(0,0,0);
for(int i=0; i<N; ++i)
for(int j=0; j<N; ++j)
res.mat[i][j]=dp[i][j];
printf("%lld\n",pow_matrix(res));
return 0;
}

参考博客：

lastone