回文数组(dp) - 搜狐集团2018秋季校招笔试题二（技术类）

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题目描述：

对于一个给定的正整数组成的数组a[]，如果将a倒序后数字的排列与a完全相同，我们称这个数组为“回文”的。

例如，【1，2，3，2，1】的倒序是它自己，所以是一个回文的数组；而【1，2，3，1，2】的倒序是【2，1，3，2，1】，所以不是一个回文的数组。

对于任意一个正整数数组，如果我们向其中某些特定的位置插入一些正整数，那么我们总是能构造出一个回文的数组。

输入一个正整数组成的数组，要求你插入一些数组，使其变为回文的数组，且数组中所有的数字的和尽可能小。输出这个插入后数组中元素的和。

例如，对于数组【1，2，3，1，2】我们可以插入两个1将其变为回文的数组【1，2，1，3，1，2，1】，这种变换方式数组的总和最小，为11，所以输出为11。

输入描述

输入数据由两行组成：第一行包含一个正整数L，表示数组a的长度。第二行包含L个正整数，表示数组a。对于40%的数据：1< L<=100达成条件时需要插入的数字数量不超过2个。对于100%的数据：1< L<=1000，0< a[i]<=100000达成条件时需要插入的数字数量没有限制。

输出

输出一个整数，表示通过插入若干个正整数使数组a回文后，数组a的数字和最小。

样例输入

8

51 23 52 97 97 76 23 51

样例输出

598

解题思路：

思路一：动态规划。dp[i][j]表示i–j之间构成回文串的所有数字之和。那么状态转移方程就是：

if(a[i]==a[j])
dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2*a[i];
else
dp[i][j] = min(dp[i+1][j]+2*a[i], dp[i][j-1]+2*a[j]);

就是说，如果当前两个数字相同a[i]==a[j]，那么当前的回文串的数字总和就等于i和j包含的那部分的数字总和加上a[i]和a[j]，又a[i]==a[j]，所以dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2*a[i]。

如果a[i]!=a[j]，那么当前的总和等于取左边或者取右边的数字总和更小的一个！

附上相似的题UVA（10739） String to Palindrome以及变形的题UVA Make Palindrome(10453)（同时输出变换后的串）

思路二：同学提供的思路。也是用到动态规划。求原序列和翻转之后的最长公共子串，假设原序列的和为sum1, 最长公共子串的和为sum2，那么答案就是(sum1-sum2)*2+sum2。也就是不是公共子串的数要用到两遍，公共子串的数不动只是位置发生的改变，未验证正确与否。

附同学提供的图：



思路一：动态规划。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int Maxn = 1005;

int dp[Maxn][Maxn];

int Min(const int& a, const int& b)
{
return a>b?b:a;
}

int main()
{
int n, a[Maxn];
while(cin >> n)
{
for(int i = 0; i < n; ++i)
cin >> a[i];
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i = 0; i < n; ++i)
dp[i][i] = a[i];
for(int i = n-2; i >= 0; --i)
for(int j = i+1; j < n; ++j)
if(a[i]==a[j])
dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2*a[i];
else
dp[i][j] = min(dp[i+1][j]+2*a[i], dp[i][j-1]+2*a[j]);
cout << dp[0][n-1] << endl;
}
return 0;
}
/*
8
51 23 52 97 97 76 23 51
*/

思路二：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n,a[1000];
int dp[1000][1000];
int main ()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
for(int i=0; i<n; i++)
scanf("%d",&a[i]);

memset(dp,0,sizeof(dp));

for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= n; j ++)   //求权值最大的公共子序列
if(a[i-1]==a[n-j])
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+a[i-1];
else
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

int sum1=0,sum2=0;
for(int i=0; i<n; i++)
sum1+=a[i];

sum2=dp

;
printf("%d\n",2*sum1-sum2);
}
return 0;
}