POJ 2411 Mondriaan's Dream 轮廓线动态规划，插头dp，滚动数组

原题链接

设矩阵共m列，n行，设当前状态为k

d[i][j][k]：当前格子坐标为（i，j），之前的连续m个格子的状态为k

状态转移：

①若k最高位为1，可以不放

②若k最高位为0，可以朝上竖着放

③若k最高位为1，可以向朝左横着放

注：

①初始状态说明：

d[(1<<m)-1]=1 (*)

当首次循环，i=j=0，设第0行之前有一虚拟行，则初始状态即（设m=4）：

（当前格子用p表示）

1 1 1 1

p         （第0行）

则此状态唯一可行的决策是不放，故有：d[0][0][1110]=d[初始状态][1111]=1

则第二次循环，即i=0，j=1，则对于满足如下状态：

   1 k1 k2

0 p         （第0行）

的所有状态k有唯一决策（设新状态为k'）：横放，即d[0][1][k']=sigma(d[0][0][k] | k为满足以上状态的所有状态)

已知，对于一行两列的矩阵，合法摆放应该只有一种，所以d[0][1][k']=1，又仅当k为1110时才有值1，其它满足条件的k的d值均为0，所以若按此(*式)设置初始状态，则正好满足条件。而对于1行1列的特殊状态，即d[0][0][1111]，仍为0，也符合事实。这是初始状态设置的原因。

②对于已经确定当前k的最高位为1的状态（转移1、3），那么k<<1的最高位也为1，所以清除新的溢出位（第m+1位）k应使用异或：(k<<1)^(1<<m)。

③本题使用滚动数组减少空间占用，详见滚动数组说明：滚动数组的应用。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int k,n,m,cur;
long long d[2][1<<15];
void update(int a,int b){d[cur][b]+=d[1-cur][a];}
///a:former k, b:current k, k'
///d[i][j][s]: the maximum setting plans when at cell(i,j),
///and the state of m continuous cells ended with cell(i,j) is s
int main(){
while(scanf("%d%d",&n,&m)){
if(m==0&&n==0) break;
if(n<m) swap(n,m);
memset(d,0,sizeof(d));
cur=0;
d[0][(1<<m)-1]=1;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<m;j++){
cur^=1;
memset(d[cur],0,sizeof(d[cur]));
for(int k=0;k<(1<<m);k++){
///assume former k->k, current k->k'
if(k&(1<<(m-1))) update(k,(k<<1)^(1<<m));///not set
///condition: the highest bit(m th, count from 1) of k is 1,
if(i&&!(k&(1<<(m-1)))) update(k,(k<<1)^1);///set upward
///condition: the highest bit (m th) of k is 0, and i>0
if(j&&!(k&1)&&(k&(1<<(m-1)))) update(k,(k<<1)^3^(1<<m));///set leftward
///condition: the highest bit (m th) of k is 1, the lowest bit of k is 0
}
///in every repeating, the highest bit of former k will be filled with 1, so in the end,
///every cell in the first (n-1) rows will be filled with 1, so if the last row(n th) is filled with 1 ((1<<m)-1),
///current state will be the answer
}
printf("%lld\n",d[cur][(1<<m)-1]);
}
}