【NOIP2017提高A组模拟9.5】遥远的金字塔 斜率优化详解

Description

Input

Output

只包含一个数，最大面积

Sample Input

5 3

1 6

1 5

3 5

4 4

4 4

Sample Output

15

Solution

显然可以dp，设f
[k]表示做到第n层，用了k个矩形的最大面积

转移显然，n2k的很简单

那nk的呢？用斜率优化就行了

大概讲一下斜率优化吧（我也是今天才想起来这玩意怎么搞）

这题的转移方程（忽略第二维）为：

f[i]=f[j]+a[i]∗(i−j)

假设决策j比决策k优，可以列出一个不等式，化简得

f[j]−f[k]j−k>a[i]

a[i]为第i层的大小

设S(i,j)为那个分数

用单调队列维护

设队头为h，当S(h+1,h)>a[i]时，队头不是最优，出队

出队后的对头一定是最优的，更新f[i]

假设S(i,j)<S(k,i)，i一定不最优

假设S(i,j)>a，i比j优，但这时S(k,i)也一定>a，所以k更优，所以i不最优

当S(i,j)<a，j比i优，i不最优

假设队尾是t

当S(t,t−1)<S(t,i)时出队尾，并把i入队即可

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(ll i=a;i<=b;i++)
#define N 20010
#define ll long long
#define fd(i,a,b) for(ll i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
ll f[N][110],a[N],n,m,d[110][N],s[110],t[110];
double S(int j,int k,int i)
{
return (f[j][i]-f[k][i])*1.0/(j-k);
}
int main()
{
freopen("pyramid.in","r",stdin);
//  freopen("pyramid.out","w",stdout);
scanf("%lld%lld",&n,&m);
fo(k,0,m) d[k][s[k]=t[k]=1]=0;
fo(i,1,n)
{
int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
a[i]=y-x+1;
fd(k,min(i-1,m-1),0)
{
while(s[k]<t[k]&&S(d[k][s[k]+1],d[k][s[k]],k)>a[i]) s[k]++;
f[i][k+1]=max(f[i][k+1],f[d[k][s[k]]][k]+a[i]*(i-d[k][s[k]]));
while(s[k+1]<t[k+1]&&S(d[k+1][t[k+1]],d[k+1][t[k+1]-1],k+1)<S(i,d[k+1][t[k+1]],k+1)) t[k+1]--;
d[k+1][++t[k+1]]=i;
}
}
ll ans=0;
fo(i,1,n) fo(j,1,m) ans=max(ans,f[i][j]);
printf("%lld",ans);
}