【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第十二课 从矩阵角度看点边结构

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~

这一节课从矩阵角度来观察包含点和边的拓扑结构，涉及电路、图论、数据结构，信息量略大。

从矩阵看图论

矩阵AA

故事从一个简单的图开始，四个顶点，五个有向边，抽象的拓扑结构，没有实际的含义，所以它可以用来代表电路、液压系统、建筑结构等等，世界上许多系统都可以抽象成这样的数学模型。

接下来我们要用矩阵表示这个结构：




这里老师使用的是**关联矩阵**Incident matrix，还有另外一种表示方法是邻接矩阵。

矩阵上看就是每行代表一条边Edge，每列代表一个点Node，第一行就对应编号1的边，对于边1，点1出，点2入，故第一列位置填-1，第二列填1，以此类推。

null space与电势差

我们想要知道之前所学的东西可以代表哪些实际上的概念，观察null space：




写出方程之后我们很容易看出来，对于x，经过Ax之后我们可以得到关于各个x的差值x，经过Ax之后我们可以得到关于各个x的差值，这就很像是经过AA之后我们可以获得电势差一样，而求解null space就是求解xx取何值时总的电势差为0。

运用之前学到的知识，很容易知道null space的dimension为1，其basics为⎡⎣⎢⎢⎢1111⎤⎦⎥⎥⎥\begin{bmatrix}1\\
1\\
1\\
1\\\end{bmatrix}

所以当各点的值(电势)相同时，其差值(电势差)相等，全部为0，意味着没有电流。这里的值可以是温度，那么其差值为0，意味着没有热传导。

rank与地

这个接下来我们观察矩阵的秩，秩为3，这意味着其中一个点的值与其他点线性相关，通常我们会把这个点设置为0，也就是接地，这样其他各个点的电势就是相对这个点取值。

矩阵ATA^T

left null space与基尔霍夫电流定律KCL

继续观察矩阵的left null space：




写成方程形式：




画出拓扑结构：




这里的yy像是什么？电流，仔细观察方程，流入节点和流出节点的电流之和为0？！这不就是基尔霍夫电流定律KCL吗？

接下来我们要得出left null space的basics：




这组基表示y1,y2,y3的和为0，y3,y4,y5的和也是0y1,y2,y3的和为0，y3,y4,y5的和也是0就像电路里学的，每个小环上的电流之和为0.

rank 与树

观察ATA^T的rank，rank为3，取一组基表示：




加粗的部分就是我们取的basics，可以看出其包含三个Node，四个Edge，不构成回路Loop，因为一个Loop内的点是线性相关的，无法构成basics，这组basics构成了一个更小的图，这样没有回路的图我们叫它树。

维度与欧拉公式

dim(N(AT))=m−rdim(N(A^T)) = m-r

对应回路数Loop=边数Edge-(节点Node-1)

这不就是欧拉公式吗？Loop就是面，Edge就是线，Node就是点。

将AA与ATA^T结合看

x为各个点电势Ax得到电势差，乘以电阻C得到电流，再乘上AT就是我们的KCL，如果此时电路内有电流源，那么我们会得到电流源fx为各个点电势Ax得到电势差，乘以电阻C得到电流，再乘上A^T就是我们的KCL，如果此时电路内有电流源，那么我们会得到电流源f

引出下节课内容AAT是什么？我们之前学过的，会得到对称矩阵symmetricmatrix引出下节课内容AA^T是什么？我们之前学过的，会得到对称矩阵symmetric matrix

PS：更详细的课堂笔记见另一位仁兄的笔记

http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13505829