ZOJ 3329 One Person Game （经典概率dp+有环方程求解）

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3329

题意：
现在有三个骰子，分别有k1，k2和k3面，面上的点就是1~ki。每次扔骰子，如果这三个骰子的值分别对应为a，b，c，那么将值初始化为0，否则就将三个骰子的点值和相加。求大于等于n的扔骰子次数期望。

思路：

这道题目主要在于推公式，看着别人的题解想了好久。

先设$E(i)$为此时和为i时还需要的期望，易得（1）：$E(i)=\sum (E(i+k)P(k))+E(0)P(0)+1$（这里$P(k)$为点值和为k的概率，$P(0)$就是对应a，b，c的概率）。

现在我们要求解的是$E(0)$，而且发现每个式子中都会包含$E(0)$。

当遇到这样的情况时我们可以先假设一下，假设（2）：$E(i)=A(i)E(0)+B(i)$，那么（3）：$E(i+k)=A(i+k)E(0)+B(i+k)$。

将（3）式带入（1）式，得（4）：$E(i)=(\sum (A(i+k)P(k))+P(0))*E(0)+\sum (B(i+k)P(k))+1$。

将（2）式和（4）式作比较，可得:

（5）：$A(i)=\sum (A(i+k)P(k))+P(0)$

（6）：$B(i)=\sum (B(i+k)P(k))+1$

而由（2）式我们又可以推出$E(0)=\frac{B(0)}{1-A(0)}$。

所以现在要的就是A(0)和B(0)的值，这个很简单，由（5）、（6）递推得到即可。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn=500+5;

int n,k1,k2,k3,a,b,c;
double p0;
double A[maxn],B[maxn],p[maxn];

int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
cin>>n>>k1>>k2>>k3>>a>>b>>c;
memset(p,0,sizeof(p));
p0=1.0/k1/k2/k3;
for(int i=1;i<=k1;i++)
for(int j=1;j<=k2;j++)
for(int t=1;t<=k3;t++)
{
if(i==a && j==b && t==c)  continue;
p[i+j+t]+=p0;
}
for(int i=n;i>=0;i--)
{
A[i]=p0,B[i]=1;
for(int t=3;t<=k1+k2+k3;t++)
{
if(i+t>n)  continue;
A[i]+=A[i+t]*p[t];
B[i]+=B[i+t]*p[t];
}
}
printf("%.16f\n",B[0]/(1-A[0]));
}
return 0;
}