扩展欧几里德 ———求解不定方程

来源：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html刚开始接触欧几里德解不定方程的时候，对于方程 ax + by = gcd（a， b）一定有解很纠结，非常纠结，它为什么就一定有解，为什么？？！！后来看了好些个（对，就是很多）博客，也就慢慢释然了，人家说有解就有解了，不服你就买本数论去学呀，学个几十年搞懂了再回来敲代码啊，人家数学家早那么多年都证明出来了，已经肯定有解了，你还纠结什么？脑残。。。。吐槽完毕；后来看解不定方程有的地方还是不太理解，看来这段博客的最后一段，就有了一种通透的感觉，放在这里方便以后在看，也分享给大家，多谢原博主，谢谢！扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：  int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
  {
  if(b == 0)
  {
  x = 1;
  y = 0;
  return a;
  }
  int r = exGcd(b, a % b, x, y);
  int t = x;
  x = y;
  y = t - a / b * y;
  return r;
  }
  把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
  可以这样思考:
  对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
  由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
  那么可以得到:
  a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
  bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
  ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
  因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)
  补充：关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法
  对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
  上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
  p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
  至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。