[BZOJ]2004: [Hnoi2010]Bus 公交线路 状态压缩DP+矩阵乘法

Description

小Z所在的城市有N个公交车站，排列在一条长(N-1)km的直线上，从左到右依次编号为1到N，相邻公交车站间的距

离均为1km。 作为公交车线路的规划者，小Z调查了市民的需求，决定按下述规则设计线路：

1.设共K辆公交车，则1到K号站作为始发站，N-K+1到N号台作为终点站。

2.每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经过（始发站和

终点站也算被经过）。

3.公交车只能从编号较小的站台驶往编号较大的站台。

4.一辆公交车经过的相邻两个

站台间距离不得超过Pkm。 在最终设计线路之前，小Z想知道有多少种满足要求的方案。由于答案可能很大，你只

需求出答案对30031取模的结果。

Input

仅一行包含三个正整数N K P，分别表示公交车站数，公交车数，相邻站台的距离限制。

N<=10^9，1

题解：

这篇博客写得很好：FYC神犇

发博客存一存矩阵乘法快速幂的模板，顺便为一些新手朋友，不太会矩阵乘法的，提供一份没有矩阵乘法的DP代码。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostrea
4000
m>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=30031;
int n,k,p,list[130],len=0;
struct matrix{int v[130][130],x,y;}A;
matrix operator * (matrix a,matrix b)
{
matrix c;c.x=a.x;c.y=b.y;
for(int i=1;i<=c.x;i++)
for(int j=1;j<=c.y;j++)
{
c.v[i][j]=0;
for(int k=1;k<=a.y;k++)
c.v[i][j]+=a.v[i][k]*b.v[k][j],c.v[i][j]%=mod;
}
return c;
}
int one(int x)
{
int re=0;
while(x)
{
re+=(x&1);
x>>=1;
}return re;
}
bool can(int to,int from) //检查状态from能否一步转移到状态to
{
from=(from-(1<<(p-1)))<<1; //这一步相当于把from向左推了一位，个位用0补齐
int tmp=from^to; //tmp应该只有一个1
if(tmp==(tmp&(-tmp))) return true; //tmp只有一个1，则是合法的
return false; //否则是不合法的
}
void print(int x)
{
if(x==0)return;
print(x>>1);
printf("%d",x&1);
}
void pre()
{
for(int i=0;i<=((1<<k)-1)<<(p-k);i++)
if(one(i)==k&&i>=(1<<(p-1)))list[++len]=i;
for(int i=1;i<=len;i++)
for(int j=1;j<=len;j++)
{
if(can(list[j],list[i]))A.v[i][j]=1;
else A.v[i][j]=0;
}
A.x=A.y=len;
}
matrix Pow(matrix x,int y)
{
if(y==1)return x;
matrix t=Pow(x,y>>1),ans=t*t;
if(y&1)ans=ans*x;
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
pre();
matrix ans1,ans2;
ans1.x=1;ans1.y=len;
for(int j=1;j<ans1.y;j++)ans1.v[1][j]=0;
ans1.v[1][len]=1;
ans2=Pow(A,n-k);
ans2=ans1*ans2;
printf("%d",ans2.v[1][len]);
}

普通DP代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,k,p,f[2][130],now=1;
//k是车的数量 p是距离限制
void print(int x)
{
if(x==0)return;
print(x>>1);
printf("%d",x&1);
}
int one(int x)
{
int re=0;
while(x)
{
re+=(x&1);
x>>=1;
}return re;
}
bool can(int to,int from) //检查状态from能否一步转移到状态to
{
from=(from-(1<<(p-1)))<<1; //这一步相当于把from向左推了一位，个位用0补齐
int tmp=from^to; //tmp应该只有一个1
if(tmp==(tmp&(-tmp))) return true; //tmp只有一个1，则是合法的
return false; //否则是不合法的
}
int main()
{
memset(f,0,sizeof(f));
scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
f[1][((1<<k)-1)<<(p-k)]=1;
for(int i=2;i<=n-k+1;i++)
{
now^=1;
memset(f[now],0,sizeof(f[now]));
for(int j=0;j<=((1<<k)-1)<<(p-k);j++)
{
if(j>=(1<<(p-1))&&one(j)==k)
{
for(int l=0;l<=((1<<k)-1)<<(p-k);l++)
if(l>=(1<<(p-1))&&one(l)==k&&can(l,j))
{
f[now][l]+=f[now^1][j];
f[now][l]%=30031;
}
}
}
}
printf("%d",f[now][((1<<k)-1)<<(p-k)]);
}