BZOJ 2004 [Hnoi2010]Bus 公交线路 - 状压DP+矩阵快速幂

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看数据范围，算法一目了然，然而。。。并不会啊

由于p位的限制，所有车一定在p位的限制内转移，于是考虑这样的状压：

设一个p位的二进制码，以第一辆车作为视角向后p位，要求p位之内有k辆车。而且由于是以第一辆车作为视角，于是第一位一定是1。设立dp数组dp i j，表示第一辆车在坐标i处，其后的状态为j，dp转移方程为：dp[i][S]=∑dp[i−1][S′]⋅r[S′][S]，其中要求S可以转移到S’的状态，r为转移数组。后边的式子可以用矩阵优化，由于所有车谁先走是无所谓的，状态数即答案。

解释一下能否进行转移的判断：由于S’的整体坐标比S后1位，于是给S整体左移一位，末尾由于无车一定补0,。由于必然是S的k位中的一位到了S’第一位的位置，于是后p位S<<1一定比S’多一个0，即此位的1转移到了开头。

一般这种可以列出转移矩阵的，一般用矩阵加速幂

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn=210;
const int mod=30031;

int n,k,m,p,cnt,Begin;
int shaker[maxn];

struct Matrix
{
int m[maxn][maxn];
}A,B;

int getnum(int x)
{
int res=0;
while(x)
{
x-=x&-x;
res++;
}
return res;
}
bool Transfer(int From,int To)
{
From=(From<<1)-(1<<p);//from左移一位且末位用0补齐
return getnum(From^To)==1;//To比From有一位多1，代表此位原来的车从此地出发到了开头
}
Matrix mul(Matrix x,Matrix y)
{
Matrix tmp;
memset(tmp.m,0,sizeof tmp.m);
for(int i=1;i<=cnt;i++)
for(int j=1;j<=cnt;j++)
for(int k=1;k<=cnt;k++)
tmp.m[i][j]=(tmp.m[i][j]+x.m[i][k]*y.m[k][j])%mod;
return tmp;

}
Matrix pow(Matrix x,int y)
{
y--;
Matrix basic=x;
while(y)
{
if(y&1)x=mul(x,basic);
basic=mul(basic,basic);
y>>=1;
}
return x;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
for(int i=(1<<(p-1));i<=(1<<p)-1;i++)//筛出合法情况
{
if(getnum(i)==k)//p格中恰有k个1
{
shaker[++cnt]=i;
if(i==(1<<p)-(1<<(p-k)))Begin=cnt;//寻找初始/终止状态
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++)//构造转移矩阵
for(int j=1;j<=cnt;j++)
B.m[i][j]=Transfer(shaker[i],shaker[j]);//查询是否可以转移
A.m[1][Begin]=1;//初值
B=pow(B,n-k);//终止状态第一位坐标-初始状态第一位坐标=n-k
A=mul(A,B);
printf("%d",A.m[1][Begin]);
return 0;
}