BZOJ 2004|HNOI 2010 Day 1|公交线路|状态压缩动态规划|矩阵乘法

公交线路

小 Z 所在的城市有 N 个公交车站,排列在一条长为 N−1 公里的直线上,从左到右依次编号

为 1 到 N,相邻公交车站间的距离均为 1 公里。

作为公交车线路的规划者,小 Z 调查了市民的需求,决定按以下规则设计线路:

1. 设共有K 辆公交车,则 1 到 K 号车站作为始发站,N−K+1 到 N号车站作为终点站。

2. 每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经停(始发站和终点站也算被经停)。

3. 公交车只能从编号较小的车站驶向编号较大的车站。

4. 一辆公交车经停的相邻两个车站间的距离不得超过 P 公里。

注意“经停”是指经过并停车,因经过不一定会停车,故经停与经过是两个不同的概念。

在最终确定线路之前,小 Z 想知道有多少种满足要求的方案。由于答案可能很大,你只需求出

答案对 30031 取模的结果。

输入

输入文件只有一行,其中包含用空格隔开的三个正整数N, K,

P,分别表示公交车站数,公交车数,一辆公交车经停的相邻两个车站间的最大距离。输入的数据保证40%的数据满足N≤1000。100%的数据满足1<N<109,1<P≤10,K<N,1<K≤P

输出

输出文件仅包含一个整数,表示满足要求的方案数对 30031 取模的结果。

样例

sample input 1

10 3 3

sample output 1

1

sample input 2

5 2 3

sample output 2

3

sample input 3

10 2 4

sample output 3

81

样例解释

样例一满足要求的方案只有1种,即:(1,4,7,10),(2,5,8),(3,6,9)。样例二满足要求的方案有3种,即:(1,3,5),(2,4);(1,3,4),(2,5)和(1,4),(2,3,5)。

题解

不看数据范围不会做系列。。

发现P很小但N很大，于是状压。。

令

f[i][state]

表示从i开始连续P个位置的状态为state的方案数。那么状态转移方程很显然。然后初始状态是

f[1][{1~k号车站存在，k+1~p号车站不存在}]

，至于目标状态，为了简化情况，定为

f[n-k+1][{1~k号车站存在，k+1~p号车站不存在}]

，当然目标状态写到

f[n-p+1]

也可以，代码稍长点就是了。。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define rep(i,j,k) for(int i=j;i<k;++i)
const int N = 155, P = 30031;
int s = 0, state
;
struct Matrix {
int c

;
Matrix(int x = 0) { memset(c, 0, sizeof c); rep(i,0,s) c[i][i] = x; }
friend Matrix operator* (const Matrix &a, const Matrix &b) {
Matrix c;
rep(k,0,s) rep(i,0,s) rep(j,0,s)
(c.c[i][j] += a.c[i][k] * b.c[k][j]) %= P;
return c;
}
friend Matrix operator^ (Matrix a, int b) {
Matrix c(1);
for (; b; b /= 2, a = a * a)
if (b & 1) c = c * a;
return c;
}
};

int count_bit(int x) {
int s = 0;
for (; x; x -= x & -x) ++s;
return s;
}

bool check(int x, int y) {
x >>= 1;
int t = x ^ y;
return t == (t & -t);
}

int main() {
int n, k, p, x;
scanf("%d%d%d", &n, &k, &p);
for(int i=1;i<(1<<p);i+=2) if (count_bit(i) == k) {
state[s] = i; if (i == (1 << k) - 1) x = s;
++s;
}
Matrix a, b;
rep(i,0,s) rep(j,0,s)
if (check(state[i], state[j]))
a.c[i][j] = 1;
b.c[0][x] = 1;
printf("%d", (b * (a ^ (n - k))).c[0][x]);
return 0;
}