第二章：2.2 LTI系统解的分析

本节主要内容如下

自由响应与强迫响应

自由响应是反应的系统的固有频率，和系统的输入没有关系。是齐次解。当然，虽然齐次解和输入信号无关，但是齐次解前面的系数和输入信号有关。强迫响应是系统的特解，与输入信号有关。



系统的自由响应反应的系统的本身的特性，我们知道系统在施加冲击信号的时候，他的响应就是自由响应，因此生活中我们通过敲击物体，看到物体震动的情况来判断他的性质。

瞬态解与稳态解

对于指数增长的这种情况，在这里我们不进行讨论



对于稳态响应而言，系统的输出与输入的频率应该相同，如果有不同的话，只可能是相位发生了一些改变。

零输入响应与零状态响应

我们在介绍第一章线性系统时曾经提到了增量线性系统。其中我们曾经提到了零输入响应和零状态响应，现在我们再复习一下

单位冲击与阶跃响应介绍

我们首先对单位冲击响应和单位阶跃响应进行定义

由于系统是零状态响应，单位冲击响应对应的是系统的齐次解，阶跃响应求解的是系统的特解。



我们如果知道系统的单位冲击响应，我们实际上可以利用他来求解系统的零状态。注意我们对于第一个公式，不仅仅可以表示系统的抽样特性，还可以表示信号的脉冲分解。我们用这个公式对输入信号进行脉冲分解。

我们用”[]”表示系统对于信号的响应，现在我们对于一个线性时不变系统进行分析。



我们现在对于具体公式进行简要介绍，如图中的箭头所指，此处表示根据系统的线性性，交换积分号与H，然后还是由于系统的线性性，得到了系统的延迟冲激响应。最后我们得到了最下面的公式，他表示的是系统在x(t)的作用下的输出。我们将最后这个运算定义为卷积



对于离散时间系统，类似的我们有

单位冲击与阶跃响应求解

这个习题中有一个需要注意的地方，



（注：应该是对h（0+）的微分，此处有笔误）



也就是在求h（t）的时候，对于t等于0的时刻需要特别留心。

对于求解系统的单位阶跃响应和求解系统的单位冲击响应的解法十分类似，只需要把阶跃响应带入微分方程即可

关于特解的求解就是将g（t）=B带入方程就可以了





实际上我们可以验证这两个输出响应之间满足导数关系，也就是



这是由线性时不变系统的微分特性所决定的

最后我们来做一个总结



我们这里要注意单位冲击响应对应的响应是自由响应，而单位阶跃响应除了包含自由响应之外还包含着一个常量的特解

以上讲解是基于系统的微分方程可以建立的情况下进行的分析，如果系统的微分方程无法建立，我们又该怎么操作呢？我们将在下一节进行介绍

练习题