2017百度之星初赛(A) 1001 小C的倍数问题(余数定理)

【题目链接】HDU-6108

【题意】

       给定进制P，求有多少个B满足P进制下，一个正整数是B的倍数的充分必要条件是每一位加起来的和是B的倍数。

【分析】

       假设有一个数s，按位记为abcd，在p进制下，可以转换为 s = a*p^3+b*p^2+c*p^1+d，分离出a+b+c+d，得s = a*(p^3-1)+b*(p^2-1)+c*(p^1-1)+a+b+c+d。

       根据余数定理，我们可以知道，(p^3-1)、(p^2-1)、(p^1-1)都可以被(p-1)整除，a*(p^3-1)+b*(p^2-1)+c*(p^1-1)是(p-1)的整数倍。因此，只要满足a+b+c+d也为(p-1)的整数倍，s就是(p-1)的整数倍，也就是所有(p-1)的因子的整数倍。

       这道题输出p-1的因子个数即可。

>余数定理     一个多项式f(x) 除以一线性多项式(x-a)的余式是 f(a)。

f(x)=x^n-1,f(x)/(x-1)的余式为f(1)=0,因此x^n-1都能被x-1分解。

附：利用余数定理进行因式分解

【代码】

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
int T,p,ans;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&p);
ans=0;
for(int i=1;i*i<=p-1;i++){
if((p-1)%i==0){
if(i*i==p-1)
ans++;
else
ans+=2;
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}