[PKU暑课笔记] 趁机膜一发线段树和树状数组

一●线段树 Interval Tree（区间树）

●线段树的基本用途

线段树适用于和区间统计有关的问题。

比如某些数据可以按区间进行划分，按区间动态进行修改，以及需要按区间多次进行查询

树：一棵二叉树

线段：树上的每个节点对应于一个线段（区间）[a,b]（区间的起点和终点通常为整数）

同一层的节点所代表的区间，相互不会重叠，且加起来是个连续的区间。

每一个叶子节点表示了一个单位区间（长度为1）（每个区间的长度是区间内整数的个数），不能再分。

对于每一个非叶结点所表示的结点[a,b]，其左儿子表示的区间为
[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为 [(a+b)/2+1,b]（除法去尾取整）

●区间[1,9]的线段树



1、线段树的平分构造，实际上是用了二分的方法。

2、若根节点对应的区间是[a,b],那么它的深度为log2(b-a+1) +1  (向上取整）。

3、叶子节点的数目和根节点表示区间的长度相同。

4、线段树节点要么0度，要么2度, 因此若叶子节点数目为N, 则线段树总结点数目为2N-1

●区间的分解

规则：如果有某个节点代表的区间， 完全属于待分解区间，则该节点为“终止” 节点，不再继续往下分解

所有“终止”节点所代表的区间都不重叠，且加在一起就恰好等于整个待分解区间

eg.区间[1, 9]的线段树上，区间[2,8]的分解



 
●线段树的特征

 1、线段树的深度不超过log2(n)+1（向上取整，n是根节点 对应区间的长度）

 2、线段树上，任意一个区间被分解后得到的“终止节点”数目都是log(n)量级

 3、线段树上更新叶子节点和进行区间分解时间复杂度都是O(log(n))

●线段树的构建

function //以节点v为根建树，v对应区间为[l,r]
{
对节点v初始化
if(l!=r)
{
以v的左孩子为根建树，区间为[l,(l+r)/2];
以v的右孩子为根建树，区间为[(l+r)/2+1,r];
}
}
//建树的时间复杂度是O(n),n为根节点对应的区间长度

●例题

给你一个数的序列A1A2……An。 并且可能多次进行下列两个操作： 

1、对序列里面的某个数进行加减

2、询问这个序列里面任意一个连续的子序列Ai,Ai+1……Aj的和是多少

分析：

显然，[1,n]就是根节点对应的区间

可以在每个节点记录该节点对应的区间里面的数的和Sum。

对于操作1：因为序列里面Ai最多只会被线段 树的log(n)个节点覆盖。只要求对线段树覆盖 Ai的节点的Sum进行加操作，因此复杂度是 log(n)

对于操作2：同样只需要找到区间所覆盖的“ 终止”节点，然后把所找“终止”节点的Sum 累加起来。因为这些节点的数量是O（log(n)) 的，所以这一步的复杂度也是log(n)