最大公约数与最小公倍数（gcd，lcm）

                                       先来说求最大公约数的方法

1.欧几里得算法（辗转相除法）

int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a
(mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互质(假设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cd>c，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾)，因此c也是b与r的最大公约数。

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证毕。

以上步骤的操作是建立在刚开始时r≠0的基础之上的。即m与n亦互质。(以上内容来自百度百科)

2.扩展gcd

void gcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y)
{
if(!b) { d=a;x=1;y=0; }
else { gcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }
}

图片来自刘汝佳的算法竞赛入门经典一书；

3.stein算法求gcd（该方法在算大数的gcd时更有优势）

int gcd(int a,int b)
{
if(a==0) return b;
if(b==0) return a;
if(a%2==0&&b%2==0) return 2*gcd(a>>1,b>>1);
else if(a%2==0)  return gcd(a>>1,b);
else if(b%2==0) return gcd(a,b>>1);
else return gcd(abs(a-b),min(a,b));
}

下面是一段来自百度百科的讲解（有改动）：

由J. Stein 1961年提出的Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法，为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。

gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。

算法步骤

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1、如果An=Bn,那么An(或Bn)*Cn是最大公约数,算法结束

2、如果An=0，Bn是最大公约数，算法结束

3、如果Bn=0，An是最大公约数，算法结束

4、设置A1=A、B1=B

5、如果An和Bn都是偶数，则An+1（这里的n+1为下标也就是下一个An，后面都是n+1都是下标）=An/2，Bn+1=Bn/2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)

6、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn(很显然啦，2不是奇数的约数)

7、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An(很显然啦，2不是奇数的约数)

8、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|/2，Bn+1=min(An,Bn)   ----------（这里有点不太好理解，我在下面给大家讲一下）

9、n加1，转1。

两种算法的对比

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欧几里德算法每次迭代中最恶劣的情况是，a=2b-1，这样，迭代后，r=b-1。如果a小于2^N，这样大约需要4N次迭代。而Stein算法，每次迭代后，显然AN+1BN+1≤
ANBN/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数，Stein算法将更有优势。

讲一下那个第八，也就是An和Bn都为奇数，偶数的时候可以除以二变小，An和Bn都为奇数怎么办了，我们可以想办法将这两个奇数化为和他们有关系的偶数，我们可以发现An+Bn，An-Bn都为偶数，我们设x=An+Bn，y=An-Bn，我们可以发现x+y=An，x-y=Bn。设z=gcd(x,y)可得x%z=0，y%z=0所以（x+y）%z=0，（x-y）%z=0；即An%z=0，Bn%z=0。这时候我们可以得到gcd(An,Bn)=gcd(x,y)因为x为偶数，这时候的An+1=（An-Bn）/2，Bn+1=min（An，Bn）；

                                    再说一下最小公倍数

当我们知道两个数的最大公约数gcd以后再求两个数的最小公倍数lcm就很好求了。
lcm(A,B)=A*B/gcd(A,B);因为A*B可能会溢出int而且A和B都是gcd的倍数，所以一般这样写lcm(A,B)=A/gcd(A,B)*B;



图片来自刘汝佳的算法竞赛入门经典一书；