lintcode-92-背包问题

92-背包问题

方法一（空间复杂度O(n x m) ）

使用二维数组 dp[i][j] 记录前 i 个数，在背包大小为 j 的条件下，最多可以装满的空间

在仅有一个物品元素时，最多可装满的空间就是此物品大小（前提是背包可以装下此物品）

有多个元素时，要装入一个新元素，则最多可以装满的空间就是装入此元素前，背包大小为当前背包大小-此元素大小的大小+此元素的大小（装入新元素），或不变（未能装下此元素）

也可以解释为：


具体过程如下图所示：



状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - A[i]] + A[i], dp[i - 1][j])

code

class Solution {
public:
/**
* http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/backpack/-92-背包问题 * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
* @param A: Given n items with size A[i]
* @return: The maximum size
*/
int backPack(int m, vector<int> A) {
// write your code here
int size = A.size(), i = 0, j = 0;

if(size <= 0) {
return 0;
}

sort(A.begin(), A.end());
vector< vector<int> > dp(size, vector<int>(m+1, 0) );

for(i=0; i<size; i++) {
for(j=1; j<=m; j++) {
if(i==0 && j>=A[i]) {
dp[i][j] = A[i];
}
else if(i>0 && j>=A[i]){
dp[i][j] = (dp[i-1][j-A[i]] + A[i] > dp[i-1][j]) ? dp[i-1][j-A[i]] + A[i] : dp[i-1][j];
}
else if(i>0 && j<A[i]){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
return dp[size-1][m];
}
};

方法二（空间复杂度 O(m) ）

优化方法一的状态方程，使用一维数组 dp[i] 记录所有物品在背包大小为 j 的条件下，最多可以装满的空间

在方法一中，二维数组的每一行仅仅与其上一行相关，所以可以将二维数组压缩成一维数组，可以相成用二维数组的下一行将上一行覆盖

因为新的结果要与其在二维素组中左上位置的元素比较（即一维数组中左边的元素比较），所以从后向前遍历一维数组，并写入新元素

状态转移方程为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - A[i]] + A[i])

code

class Solution {
public:
/**
* @param m: An integer m denotes the size of a backpack
* @param A: Given n items with size A[i]
* @return: The maximum size
*/
int backPack(int m, vector<int> A) {
// write your code here
int size = A.size(), i = 0, j = 0;

if(size <= 0) {
return 0;
}

int *dp = new int[m+1];
for(i=0; i<m+1; i++) {
dp[i] = 0;
}

for(i=0; i<size; i++) {
for(j=m; j>=1; j--) {
if(j >= A[i]) {
dp[j] = (dp[j]>dp[j-A[i]] + A[i])?dp[j]:dp[j-A[i]] + A[i];
}
}
}
return dp[m];
}
};