【JZOJ2700】【GDKOI2012模拟02.01】数字

Description

Data Constraint

Solution

比赛时离正解就差一步……

我们打个表找找规律后发现：X*D(X)=i *i+9 *i *k，i∈[1,9]，那么对于一个询问，我们可以通过枚举i来确定k的最大值计算数量。对于询问[l,r]我们可以用[1,r]-[1,l-1]来解决。

问题来了：一个x*d(x)可能在不同的i中出现（如125*d(125)=1000*d(1000)）如何去重？

我们考虑i∗i+9∗i∗k=j∗j+9∗j∗li∗i−j∗j=9∗(j∗l−i∗k)找找规律找一下可能出现x*d(x)相同的i，j，一定满足i+j=9.(i+j)∗(i−j)=9∗(j∗l−i∗k)i−j=j∗l−i∗k当l=k=-1时，这是一个解。那么我们现在要讨论ax+by=c的解的数量。

若满足ax−by=ca(x+bgcd(a,b))−b(y+agcd(a,b))=c所以相邻连个x的姐之间间隔是b/gcd(a,b)。讨论减一下就好。

Code

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e7+5;
ll test,n,m,i,t,j,k,l,x,y,z,ans;
ll gcd(ll x,ll y){
ll r=x%y;
while (r) x=y,y=r,r=x%y;
return y;
}
int main(){
//  freopen("data.in","r",stdin);
scanf("%lld",&test);
for (;test;test--){
scanf("%lld%lld",&m,&n);m--;ans=0;
for (i=1;i<=9;i++){
if (i*i>n) break;
t=(n-i*i)/(9*i)+1;
ans+=t;
if (i<=4 && (9-i)*(9-i)<=n){
k=(9-i)/gcd(i,9-i);
ans-=t/k;
}
}
for (i=1;i<=9;i++){
if (i*i>m) break;
t=(m-i*i)/(9*i)+1;
ans-=t;
if (i<=4 && (9-i)*(9-i)<=m){
k=(9-i)/gcd(i,9-i);
ans+=t/k;
}
}
printf("%lld\n",ans);
}
}