【GDKOI2012模拟02.01】数字（找规律&&数论）

Description

Solution

首先我们可以发现D(x)=(x−1)，就是说D(x)≡x(mod9)

所以有x=D(x)+9k

那么A=D(x)x=D(x)(D(x)+9k)=D(x)2+9kD(x)

然后这个的方案数就是(r−D(x)2)9∗D(x)，这个很好证明。

但是会有重复。

所以我们要找到满足A=D(x)2+9kD(x)=D(y)2+9lD(y)

的所有解。

把上面的式子转一转D(x)2−D(y)2=9(D(y)l−D(x)k)

所以有D(x)2−D(y)29=D(y)l−D(x)k

所有有解(-1,-1)

因为有解，所以我们还可以得到更多解。

假设ax+by=c的a,b为其中一个解

那么有x(a+bgcd(a,b))+y(b−agcd(a,b))=c

上面(a,b)进行括号内的变换也是一组解，然后用边界除一下就好了。

Code

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5e6+7;
ll i,j,k,l,t,n,m,ans,T,r,x,y,o,a,b,yi,er;
ll gcd(ll x,ll y){return(!y)?x:gcd(y,x%y);}
int main(){
//  freopen("fan.in","r",stdin);
for(scanf("%d",&T);T;T--){
scanf("%lld%lld",&l,&r);ans=0;
fo(i,1,9){
if(i*i>r)break;
ans+=(r-i*i)/9/i+1;
x=i,y=9-i;o=gcd(x,y);
yi=y/o,er=x/o;
if(y*y<=r&&i<=4)ans-=((r-x*x)/9/x+1)/yi;
}
r=l-1;
fo(i,1,9){
if(i*i>r)break;
ans-=(r-i*i)/9/i+1;
x=i,y=9-i;o=gcd(x,y);
yi=y/o,er=x/o;
if(y*y<=r&&i<=4)ans+=((r-x*x)/9/x+1)/yi;
}
printf("%lld\n",ans);
}
}