【算法】（遇到的问题）给定一个数组，找出不在数组中的最小的那个数字

算法题：找出不在数组中的最小的那个数字所遇到的问题

算法题找出不在数组中的最小的那个数字所遇到的问题
一切的源头

初次探索

二次探索

三次探索

最终探索

主要代码

一切的源头

一切都源于一个题目：给定一个数组，找出不在数组中的最小的那个数字。这是原文链接。

同学问我，说这篇文章里的第5种解法，他实现了可是却得不到正确的结果，于是我去阅读了该文章，这篇文章的思路真的很巧妙，文章也写的很明白，然后我也去试着实现了第5种算法，过程中也遇到了很多问题，不过最后也都解决了，在这里做一下记录。

初次探索

首先要注意两点：

1. 数组的下标是从1开始的

2. 数组中没有重复的元素

先描述一下原文作者的思路：

首先取1~n的中间值m=(1+n)/2，然后利用快拍中的partition函数的思想将整个数组分成2部分。

A1中都是小于或等于m的数字，A2中都是大于m的数字。

如果A1的长度小于m，那么说明缺少的数字应该出现在A1中，否则在A2中，具体推导过程作者说的很详细，这里就不在赘述了。

以下是作者的代码：

MIN-AVAILABLE-NUM(A, low, up)
　　if(low == up) return low
　　m = (low + up) / 2
　　split = partition(A, low, up, m)
　　if a[split] == m
　　   then return MIN-AVAILABLE-NUM(A, low, split)
else return MIN-AVAILABLE-NUM(A, split+1, up)

这个思路是没有问题的，但是都存在一点小问题，一会在讨论，因为当时我看后面有一个非递归实现，所以就去实现非递归实现的代码。以下就是非递归实现的代码：

MIN-AVAILABLE-NUM(A, low, up)
　　while low != up
　　　　m = (low + up) / 2
　　　　split = partition(low, up, m)
　　　　if A[split] == m
　　　　　　then low = split + 1
　　　　else up = split - 1
　　　return low

然后我用C语言实现了这个算法，一样得不出结果。

开始的时候一直觉得自己的程序写错了，检查了很多遍没有发现问题，和作者的思路一样，很气很奇怪啊。

后来发现了partition函数写的有问题，经过修改后，终于得到了正确的结果。当我感觉如释重负的时候，换了一个例子，然后得到了错误的结果。然后又尝试了一个例子还是错误的，所以我认为自己的程序有了问题，第一个例子能得出正常的结果纯属巧合。

二次探索

于是我再次修改了程序，使得第二和第三个例子都得到了正确答案，我以为终于解决了，但是事情并不是这么简单，当我再次尝试第一个例子的时候，又无法得到正确的答案，于是我决定去debug一下，看看到底是怎么回事，经过一番努力我发现了问题所在，其实这一切都是巧合。

作者的思路很好，但是有些细节没有注意到。接下来举个简单的例子来说明问题的所在：

假设有两个数组1，2，3，4和数组1，2，4，5，下面是模拟算法的计算过程：



通过结果我们发现，这个算法并不能得到正确的结果。

再举一个简单的例子说明这个问题，假设有一个很长的数组，它缺少的数字是下图红色的3，那么最终的结果只可能有两种情况：



这个怎么来证明呢，我们可以假设数组是有序的，那么这个算法的过程就和二分查找类似，由于使用的是/2，而且和数组长度的奇偶性相关，所以会存在两种情况：

1. 指向最终结果之前的一个数

2. 指向最终的结果

至于为什么不会指向最终结果的后一个数，这还是由于/2，整数除法的原因。比如，10/2=5，11/2=5，整数的除法会吧小数部分直接忽略掉，也叫向下取整，所以最终不可能指向最终结果的后一个数的。

三次探索

所以我再次修正了算法，果然得到了正确的结果，当我以为这次是终于解决了，然后又找了一组测试数据，并没有得到正确的结果。这次我debug了一下，很快发现了错误。再举一个简单的例子说明这个问题：



对于数组1 2 4 5 6 很明显得到了一个错误的答案。这是因为第一次split之后，split进行了减一，刚好跳过了最终结果。这个错误完全是我的原因，因为我没有看作者的递归实现，他递归是正确的，但是非递归实现的时候，当最终结果出现在数组的前半部分时，也就是需要修改up的值时，对split进行了减一，就是因为这个减一，所以会跳过正确的结果。

最终探索

最后修正了我的程序，这次是真的解决了吧？

我目前是没有遇到其他问题，如果有人能看到这篇文章，然后发现我的程序还有问题的话一定要告诉我：事情并不是这么简单，还没有结束呢！

主要代码

以下就是我的程序主要代码：

自己测试的时候一定要注意：

1. 数组的下标是从1开始的，也就是说数组的0号位置不要存放有效数据

2. 数组中没有重复的元素

//两个数字交换
void swap(int *a, int *b){
int temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}

//分组函数
int partition(int data[], int length, int start, int end, int key){
if(length<=0||start<0||end>=length) return -1;
int index;
int small = start-1;
for(index=start; index<=end; ++index){
if(data[index]<=key){
++small;
if(small!=index){
swap(&data[index], &data[small]);
}
}
}
return small;
}

//主要函数
int solution(int A[], int low, int up){
while(low < up){//注意：主要修改，原来的条件会出现死循环
int m = (low + up)/2;
int split = partition(A, N, low, up, m);
if (split == m) { //这里不能使用A[split]
low = split +1;
}else {
up = split;
}
}
if(low==A[low]){
return low+1;
}
if(A[low]>low){
return low;
}
}