算法面试：根据前序遍历结果序列和中序遍历结果序列重构二叉树

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对不同结构的二叉树进行前序，后序或中序遍历时，得到的结果可以是相同的，例如：



上面三种结构的二叉树在进行前序遍历时，得到的序列都是：{3，4，5}，但如果给定两种遍历序列，例如再加上中序遍历序列:{4,3,5}, 那么二叉树的结构就可以唯一确定了，满足这两种遍历序列的二叉树只能是中间那颗二叉树。

于是算法题目是，给定一颗二叉树的两种遍历序列，一种序列是中序遍历，一种序列的前序遍历，要求你根据这两种遍历序列，还原出其对应的二叉树。假设给定两个序列，中序遍历的节点序列为：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，前序遍历的节点序列为：{6,4,2,1,3,5,9,7,8,10}，要求你给出算法，根据这两个遍历序列，构造出下面这颗二叉树：



给定了前序遍历，那么我们可以知道哪些节点是祖先节点，哪些节点是后代节点，例如根据上面的前序遍历序列，我们可以知道的是，节点6是所以节点的祖先节点，节点4，2是节点6的后代节点，然而我们无法确定的是，节点4，2都在节点6的右边还是都在左边，或者节点4在左边，节点2在右边。这个确定我们就必须要参照中序遍历的节点次序。

如何确定节点4是节点6的左孩子还是右孩子呢，我们需要参照下中序遍历序列，如果节点4在中序遍历序列中，出现在节点6的前面，那么节点4是节点6的左孩子，或者节点4在节点6的左子树，反之如果节点4在中序遍历序列中，出现在节点6的右边，那么节点4是节点6的右孩子，或者节点4属于节点6的右子树。

由此我们推出二叉树的构造算法如下：

1， 从前序遍历序列中逐个取出节点值，如果当前二叉树为空，那么就拿当前节点值构造一个二叉树节点作为树的根节点。

2，如果此时二叉树不为空，那么先从根节点开始，在中序遍历序列中查看当前节点处于根节点的左边，还是右边，如果处于左边，表明当前节点属于根节点的左子树，如果当前根节点的左孩子为空，那么就把当前节点当做根节点的左孩子，要不然进入根节点的左子树。如果当前节点在根节点的右边，那么如果根节点的右孩子为空，那么把当前节点作为根节点的右孩子，要不然进入根节点的右子树。

3，在中序遍历序列中，查找当前节点与当前子树节点的相互位置，如果当前节点处于但却子树节点的左边，那么当前节点属于当前子树节点的左子树，如果当前子树节点的左孩子为空，则把当前节点作为当前树节点的左孩子，要不然进入节点的左子树，继续重复步骤3，如果当前节点在中序遍历序列中处于树节点的右边，那么当前节点属于树节点的右子树，如果树节点的右子树为空，那么把当前节点作为树节点的右孩子，要不然进入树节点的右子树，然后重复步骤3.

当前序遍历序列中的每个节点都依照上面算法步骤遍历一遍后，所构成的二叉树就是我们需要的二叉树，以下是相应的代码实现：

import java.util.HashMap;

public class BTreeBuilder {
private HashMap<Integer, Integer> nodeMap = new HashMap<Integer, Integer>();
private TreeNode root = null;

public BTreeBuilder(int[] inorder, int[] preorder) {
for (int i = 0; i < inorder.length; i++) {
nodeMap.put(inorder[i], i);
}

buildTree(preorder);
}

private void buildTree(int[] preorder) {
if (root == null) {
root = new TreeNode(preorder[0]);
}

for (int i = 1; i < preorder.length; i++) {
int val = preorder[i];
TreeNode current = root;
while (true) {
if (nodeMap.get(val) < nodeMap.get(current.val)) {
if (current.left != null) {
current = current.left;
} else {
current.left = new TreeNode(val);
break;
}
} else {
if (current.right != null) {
current = current.right;
} else {
current.right = new TreeNode(val);
break;
}
}
}
}
}

public TreeNode getTreeRoot() {
return root;
}
}

在代码开始时，先遍历中序序列，把每个节点在中序队列中的位置放入到map中，以便后面查找。buildTree对应的就是前面所说的算法步骤，它遍历前序节点队列中每一元素值，然后执行前面所说的算法三步骤，把当前节点值作为一个节点插入到二叉树的合适位置。

最后getTreeRoot返回构建好后的二叉树根节点。我们再看看程序入口处代码：

import java.util.ArrayList;

public class BinaryTree {
public static void main(String[] s) {

int[] inorder = new int[]{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
int[] preorder= new int[] {6,4,2,1,3,5,9,7,8,10};
BTreeBuilder treeBuilder = new BTreeBuilder(inorder, preorder);
TreeNode root = treeBuilder.getTreeRoot();

PrintTreeList pt = new PrintTreeList(root);
pt.printTree();
}
}

首先程序构建了一个节点中序遍历序列inorder 和前序遍历序列preorder,然后通过类BTreeBuilder来构建对应二叉树，拿到二叉树后，通过类PrintTreeList将二叉树的节点一层一层的打印出来，该类的算法原理我们在以前的课程中有过详细介绍，程序运行后打印的结果为：

6 4 9 2 5 7 10 1 3 8

不难发现，这个层级打印出来的节点序列，跟我们上头的二叉树是一致的，由此可见，我们的算法实现是正确的。

算法需要遍历前序队列中的每个节点，此时复杂度是O(n), 每访问一个节点，我们都需要在当前已经建好的二叉树中进行相应的查找，二叉树查找的算法复杂度是h, 也就是树的高度，对于含有n个节点的二叉树，其高度为lg(n),因此总的算法复杂度为O(n*lg(n)).

在算法实现中，我们需要使用一个map来存储树的节点及位置，因此空间复杂度为O(n).

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