最长回文子串——Manacher 算法

一：背景

  给定一个字符串，求出其最长回文子串。例如：
  （1）s="abcd",最长回文长度为 1；
  （2）s="ababa",最长回文长度为 5；
  （3）s="abccb",最长回文长度为 4，即 bccb。
  以上问题的传统思路大概是，遍历每一个字符，以该字符为中点向两边查找。其时间复杂度为$O(n^2)$，很不高效。而在1975年，一个叫Manacher的人发明了一个算法，Manacher算法，也称马拉车算法，该算法可以把时间复杂度提升到$O(n)$。下面来看看马拉车算法是如何工作的。

二：算法过程分析

  由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，在字符间插入一个字符（前提这个字符未出现在串里）。举个例子：

s="abbahopxpo"

，转换为

s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"

（这里的字符 $ 只是为了防止越界，下面代码会有说明），如此，s 里起初有一个偶回文

abba

和一个奇回文

opxpo

，被转换为

#a#b#b#a#

和

#o#p#x#p#o#

，长度都转换成了奇数。
  定义一个辅助数组

int p[]

，

p[i]

表示以

s_new[i]

为中心的最长回文的半径，例如：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
s_new[i]	$	#	a	#	b	#	b	#	a	#	h	#	o	#	p	#	x	#	p	#	o	#
p[i]		1	2	1	4	5	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	6	1	2	1	2	1

可以看出，

p[i]-1

正好是原字符串中最长回文串的长度。
  Manacher算法之所以快，就快在对 p 数组的求法上有个捷径。在我们解决了奇偶回文的繁琐时，剩下的难点就是求 p 数组，按照普通思维，我们是这样求解的：求解

p[i]

，先初始化

p[i]=1

，再以

s_new[i]

为中心判断两边是否相等，相等就

p[i]++

。这就是普通的思维，但是我们想想，能否让

p[i]

的初始化不是 1，让它更大点，看下图：

  设置两个变量，mx 和 id 。
  mx 代表以

s_new[id]

为中心的最长回文最右边界，也就是

mx=id+p[id]

。
  假设我们现在求

p[i]

，也就是以

s_new[i]

为中心的最长回文半径，如果

i<mx

，如上图，那么：

if (i < mx)
p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id -i

其实就是等于 j ，

p[j]

表示以

s_new[j]

为中心的最长回文半径，见上图，因为 i 和 j 关于 id 对称，我们利用

p[j]

来加快查找。

三：代码

/**
*
* author 刘毅（Limer）
* date   2017-02-25
* mode   C++
*/
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];

int Init()
{
int len = strlen(s);
s_new[0] = '$';
s_new[1] = '#';
int j = 2;

for (int i = 0; i < len; i++)
{
s_new[j++] = s[i];
s_new[j++] = '#';
}

s_new[j] = '\0';  //别忘了哦

return j;  //返回s_new的长度
}

int Manacher()
{
int len = Init();  //取得新字符串长度并完成向s_new的转换
int maxLen = -1;   //最长回文长度

int id;
int mx = 0;

for (int i = 1; i < len; i++)
{
if (i < mx)
p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);  //需搞清楚上面那张图含义, mx和2*id-i的含义
else
p[i] = 1;

while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])  //不需边界判断，因为左有'$',右有'\0'
p[i]++;

if (mx < i + p[i])  //我们每走一步i，都要和mx比较，我们希望mx尽可能的远，这样才能更有机会执行if (i < mx)这句代码，从而提高效率
{
id = i;
mx = i + p[i];
}

maxLen = max(maxLen, p[i] - 1);
}

return maxLen;
}

int main()
{
while (printf("请输入字符串：\n"))
{
scanf("%s", s);
printf("最长回文长度为 %d\n\n", Manacher());
}

return 0;
}

四：算法复杂度分析

  文章开头已经提及，Manacher算法为线性算法，即使最差情况下其时间复杂度亦为$O(n)$，在进行证明之前，我们还需要更加深入地理解上述算法过程。
  定义 mx 为以

s_new[id]

为中心的最长回文最右边界，也就是

mx=id+p[id]

。j 与 i 关于 id 对称，根据回文的性质，

p[i]

的值基于以下三种情况得出：
  （1）j 的回文串有一部分在 id 的之外，如下图：

上图中，黑线为 id 的回文，i 与 j 关于 id 对称，红线为 j 的回文。那么根据代码此时

p[i]=mx-i

，即紫线。那么

p[i]

还可以更大么？答案是不可能！见下图：

假设右边新增的紫色部分是

p[i]

可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 d ，也就是说 id 的回文不仅仅是黑线，而是黑线+两条紫线，矛盾，所以假设不成立，故

p[i]=mx-i

，不可以再增加一分。
  （2）j 回文串全部在 id 的内部，如下图：

此时

p[i]=p[j]

，那么

p[i]

还可以更大么？答案亦是不可能！见下图：

假设右边新增的红色部分是

p[i]

可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 b ，，也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ，矛盾，所以假设不成立，故

p[i]=p[j]

，也不可以再增加一分。
  （3）j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合，见下图：

此时

p[i]=p[j]

或

p[i]=mx-i

，并且

p[i]

还可以继续增加，所以需要

while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])
p[i]++;

  根据（1）（2）（3），很容易推出Manacher算法的最坏情况，即为字符串内全是相同字符的时候。在这里我们重点研究Manacher（）中的for语句，推算发现for语句内平均访问每个字符5次，即时间复杂度为：$T_{worst}(n)=O(n)$。
  同理，我们也很容易知道最佳情况下的时间复杂度（最佳情况即字符串内字符各不相同）。推算得平均访问每个字符4次，即时间复杂度为：$T_{best}(n)=O(n)$。
  综上，Manacher算法的时间复杂度为$O(n)$。