HDU 4828 Grids（卡特兰数）

题意:一个2行N列的长方形格子。把1到2N这些数依次放进去，求每行每列都递增的方案数（对1e9+7取模）。(n <= 1e6)

思路：1到2N一个个放，有两种情况，放第一行或者放第二行，可以发现要满足每行每列都递增的要求是放的过程中第一行的数大于等于第二行的数。这很类似于台阶问

题：在一个n*n的格子中，我们从左下角出发，前往右上角，每一步，只能水平向右走一格，或者垂直向上走一格，并且不能越过对角线。如果我们将

水平走一格对应为将当前的数填入下行，将垂直向上走一格对应为将当前的数填入上行，则可见这两个问题完全等价。那么填充格子的可行方案数等于台阶问题中从左下角到达右上角的路径数，等于

 
    ，也就是著名的Catalan数。 

然后就是用费马求逆元就行了。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 2e6+5;
ll fac[maxn] = {1};

void init()
{
for(int i = 1; i < maxn; i++)
fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
}

ll qmod(ll x, ll p)
{
ll ans = 1;
while(p)
{
if(p%2) ans = ans*x%mod;
x = x*x%mod;
p /= 2;
}
return ans;
}

int main(void)
{
int t, ca = 1;
init();
cin >> t;
while(t--)
{
ll n;
scanf("%lld", &n);
printf("Case #%d:\n%lld\n", ca++, fac[2*n]*qmod(fac[n+1], mod-2)%mod*qmod(fac
, mod-2)%mod);
}
return 0;
}